Następny: Spis Literatury W góre: Wybrane Zagadnienia Matematyki II Zadania do zaprogramowania Poprzedni: Zadanie 4 - Macierz kowariancji (wsp. korelacji)

Subsections

• Test Kołmogorowa
• Przybliżona wartość dystrybuanty rozkładu normalnego

Zadanie 5 - Test Kołmogorowa

Program powinien obliczać wartość statystyki Kołmogorowa pozwalając sprawdzić hipotezę:

• dane pochodzą z rozkładu normalnego (test poprawności działania generatora z zadania 3)
• dane pochodzą z rozkładu jednostajnego (test poprawności działania generatora z zadania 1)

Program powinien wczytać dane tekstowe i wyświetlić wartość statystyki Kołmogorowa (lub asymptotycznej wartości statystyki Kołmogorowa gdy pomiarów jest więcej niż 100).
Podczas badania normalności rozkładu należy do obliczenia dystrybuanty zastosować przybliżenie przedstawione poniżej.

Test Kołmogorowa

Stawiamy hipotezę $H_0 : F(x)=F_0(x)$ , gdzie $F_0(x)$ jest dystrybuantą typu ciągłego (W. Krysicki).
Statystyka testowa:

$$D_n=\sup_x\vert F_0(x)-S_n(x)\vert$$ (6)

gdzie $S_n(x)$ jest dystrybuantą empiryczną ustaloną po posortowaniu próbki $x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n$ w następujący sposób:

$$S_n(x)=\left\{ \begin{array}{lll} 0 & dla & x < x_1 \frac{i}{k} & dla & x_k \leq x < x_{k+1} 1 & dla & x_k \geq x \end{array} \right .$$ (7)

Przy danym poziomie istotności $\alpha$ i liczebności $n$ możemy z tablic statystycznych odczytać krytyczna wartość $d_n(1-\alpha)$ statystyki Kołmogorowa $D_n$ .
Obszarem krytycznym jest przedział $[d_n(1-\alpha),1]$
Przy danej liczebności próbki ($n > 100$ ) można posługiwać się rozkładem granicznym statystyki $D_n$ :

$$P(\sqrt{n}D_n \geq \lambda(1-\alpha))=\alpha$$ (8)

Najważniejsze wartości kwantyli $\lambda(1-\alpha)$ przy rozkładzie granicznym

$1 - \alpha$	0.90	0.95	0.99
$\lambda(1-\alpha)$	1.224	1.354	1.628

Jeżeli więc obliczona wartość $\sqrt{n}d_n$ jest większa od krytycznej wartości (kwantyla) $\lambda91-\alpha)$ , to hipotezę na poziomie istotności $\alpha$ odrzucamy.

Przybliżona wartość dystrybuanty rozkładu normalnego

Jedną z metod wyznaczania przybliżonej wartości dystrybuanty rozkładu normalnego jest rozwinięcie w szereg postaci (Abramowitz and Stegun)

$$P(X < x) \approx 1 -Z(x)\sum_i^N{a_it^i}$$ (9)

gdzie

$$Z(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$$

$$t = \frac{1}{1+px}$$

dla N=5 odpowiednie stałe wynoszą:

$a_1$	0.319381530
$a_2$	-0.356563782
$a_3$	1.781477937
$a_4$	-1.821255978
$a_5$	1.330274429
$p$	0.2316419

Dokładność przybliżenia : $\vert\epsilon(x)\vert<7.5\cdot10^{-8}$
Przykładowa implementacja w języku C
Następny: Spis Literatury W góre: Wybrane Zagadnienia Matematyki II Zadania do zaprogramowania Poprzedni: Zadanie 4 - Macierz kowariancji (wsp. korelacji)