\chapter{Relacje pomiędzy regułami rozmytymi a prototypowymi}  \label{chap:P2F-rules}
%\section{Integracja systemów prototypowych oraz rozmytych} 
%tu można coś napisać integracji CBR z Fuzzy oraz tp.

%---------------------------------------------------WSTĘP------------------------------------
\section{Wstęp}
Do budowy rozmytych klasyfikatorów regułowych najczęściej używa się modelu Takagi-Sugeno-Kanga (TSK), gdzie Cordon \cite{Fu-Cordon-FuzzyRBClassifier} definiuje  trzy podstawowe typy reguł, a dokładniej trzy typy konkluzji:
\begin{enumerate}
\item jeżeli $\ldots$ to C($\Bx$)=$C_i$, $z=1$ - reguła ma bezpośrednio przypisaną jedną wartość etykiety ze współczynnikiem spełnienia $z_i$ reguły równym 1
\item jeżeli $\ldots$ to C($\Bx$)=$C_i$,$z=[0,1]$ - konkluzja reguły wskazuje na pojedynczą klasę z odpowiednim współczynnikiem wsparcia (spełnienia) konkluzji należącym do przedziału $[0,1]$
\item jeżeli $\ldots$ to C($\Bx$)=$C_{1\ldots c}$, $z_{1 \ldots c}=[0,1]$ - konkluzja reguły definiuje współczynniki wsparcia (spełnienia) konkluzji odpowiednio dla każdej z klas
\end{enumerate}
przy czym każda konkluzja składa się z pary $<C_i,z_i>$, gdzie $C_i$ jest singletonem definiującym konkluzję, natomiast $z_i$ jest współczynnikiem określającym jej pewność.
Model ten spełnia również właściwości modelu Mamdaniego, przy założeniu singletonów w konkluzji. Kuncheva rozszerza tą grupę o konkluzję, gdzie dla każdej z klas w ramach pojedynczej reguły definiuje się wartości lingwistyczne, dzięki czemu zastosować można pełny model wnioskowania Mamdaniego.\\
Zarówno analiza funkcjonalna, jak i analiza interpretacji systemów rozmytych wskazują na równoważność regułowych klasyfikatorów rozmytych oraz metod bazujących na wektorach referencyjnych. Dowodzi to między innymi praca Bilgica oraz Turksena  \cite{Fu-Bilgic-MFunderstand}, gdzie autorzy podają pięć metod interpretacji funkcji przynależności: 
\begin{enumerate}
\item jako wartość prawdopodobieństwa (ang. likelihood view)
\item jako wartości zbiorów losowych (ang. random set view)
\item jako stopień podobieństwa (ang. similarity view)
\item jako miara funkcjonalności (ang. utility view)
\item jako wartość wynikająca z teorii pomiarów (ang. measurement view)
\end{enumerate}
Na uwagę zasługuje tu interpretacja stopnia przynależności jako podobieństwa.\\
 Pierwsze bezpośrednie przykłady literaturowe o równoważności funkcjonalnej systemów rozmytych i prototypowych były opisywane przez Janga \cite{Jang-FuzzyRBF} i dotyczyły sieci RBF (równoważne z rozmytym modelem TSK typu 2). W \cite{Kunch-FuzzyEqStat} Kuncheva pokazała równoważność systemów rozmytych oraz metod statystycznych bazujących na funkcjach jądrowych takich jak kNN $\equiv$ TSK typ 1 oraz klasyfikator Parzena $\equiv$ TSK typ 2. Ostatecznie zaproponowała bardzo ogólny model  bazujący na prototypach, powstały na styku z systemami rozmytymi nazwany Uogólniony Klasyfikator Najbliższego Prototypu (GNPC) \cite{Kunch-GNPC}, omówiony również w rozdziale \ref{chap:p-rules}. W książce \cite{Kunch-Book} ta sama autorka pokazuje równoważność GNPC z omówionymi modelami TSK. Głosi również tezę o równoważności klasyfikatorów  rozmytych oraz prototypowych, wskazując, iż każdy system rozmyty można zapisać jako równoważny system prototypowy, czyli jako zbiór reguł prototypowych.\\

%---------------------------------------------------RÓŻNICE POMIĘDZY F I P---------------------------------
\section{Różnice pomiędzy systemami reguł \\ prototypowych oraz rozmytych}
Równoważność systemów prototypowych oraz rozmytych uzyskuje się przez założenie separowalnych funkcji podobieństwa lub odległości. Separowalne funkcje odległości charakteryzują się możliwością dekompozycji poszczególnych składników odległości na niezależne składowe dla każdego z atrybutów. Przykładowym rozwiązaniem jest tutaj sieć neuronowo-rozmyta FSM \cite{Fu-Duch-FSM}, która pozwala na interpretację wyników jako zbioru reguł rozmytych. Jednak jej sposób działania opiera się w rzeczywistości na selekcji prototypów i ich interpretacji po uprzedniej dekompozycji jako zbioru reguł rozmytych. Nie wszystkie jednak funkcje podobieństwa lub odległości posiadają właściwość separowalności. Przykładem tego może być odległość cosinusowa, której nie można rozseparować na niezależne składowe atrybutów lub też funkcje bazowe stosowane w przypadku sieci neuronowych typu RBF, za wyjątkiem funkcji Gaussowskiej. \\
Różnice pomiędzy systemami rozmytymi a prototypowymi uwydatniają się w lingwistycznej interpretacji reguł. Reguły rozmyte opisują dany problem posługując się przymiotnikami wyrażającymi elementy reguł, podczas gdy reguły prototypowe do opisu wykorzystują obiekty \reff{eq:1NN-lingwist}. 
\be \label{eq:1NN-lingwist}
\hbox{jeżeli  O jest podobny do P  to  kategoria(O)=kategoria(P)}
\ee
gdzie $O$ to badany obiekt, zaś $P$ to jeden z prototypów - obiektów referencyjnych.
Przykładem lingwistycznego wyrażenia reguły prototypowej może być:
\begin{center}
jeżeli obiekt A jest najbardziej podobny do koszykarza to A gra w piłkę
\end{center} 
gdzie opis koszykarza podany jest niejawnie, ale można go zdekomponować (o ile funkcja podobieństwa na to pozwala) na zbiór przesłanek równoważnych opisowi zbiorów rozmytych. \\
Taka właściwość stawia reguły prototypowe jako nadrzędne (bardziej ogólne), gdyż operują one na wyższym poziomie abstrakcji niż reguły rozmyte. Rozwiązanie to ma jednak wady, gdyż ceną ogólności może być redundancja informacji zawarta w regułach prototypowych, wynikająca z konieczności reprezentacji prototypu jako wektora $\Bp$, podczas gdy w przypadku reguł rozmytych istnieje większa możliwość uproszczenia zapisu przesłanek oraz wykorzystanie rozmytych operatorów negacji.\\ 
Poważnym ograniczeniem systemów rozmytych jest ich zdolność analizy danych symbolicznych, dla których trudno jest zdefiniować poprawną funkcję przynależności, a tym bardziej nadać jej interpretację lingwistyczną. Problem ten wraz z propozycją rozwiązania opisano  m.in. w \cite{Nauck-Hab}. Niemniej jest to poważne zagadnienie, z którym dobrze radzą sobie systemy prototypowe. Należy tu zwrócić uwagę, iż początkowo były one specjalizowane do analizy właśnie danych symbolicznych, jak metody z rodziny CBR \cite{CBR}. Dużo prac poświęconych problematyce cech symbolicznych było prowadzonych również przez społeczność związaną z uczeniem instancyjnym (ang. instance based learning, IBL), gdzie opracowanych zostało szereg miar z rodziny VDM \cite{Stanfill-VDM} oraz odpowiednie miary heterogeniczne \cite{Martinez-HetDist,Blachnik-ProbEstPol1,Blachnik-ProbEstTai} (rozdział \ref{chap:dist}).\\
Istotną zaletą systemów rozmytych jest bogactwo operatorów opracowanych w celu uwypuklenia pewnych właściwości opisu wiedzy. Należy tu wymienić różne operatory iloczynu oraz sumy logicznych przesłanek (ang. T-norm,T-conorm), operatory implikacji oraz inne operatory logiczne. Na rzecz systemów rozmytych przemawia również duża łatwość tworzenia bazy reguł w oparciu o wiedzę eksperta, co stanowiło o sile i popularności systemów reguł rozmytych.

%---------------------------------------------------DIST-SIM------------------------------------
%TU BY TRZEBA NAPISAĆ ŻE ANALIZUJĄĆ GNPC MAMY TAKĄ SYTUACJĘ ŻE NALEŻY ZNALEŹĆ RELACJE POMIĘDZY FUNKCJAMI ODLEGŁOŚCI A ODPOWIADAJĄCYMI IM FUNKCJAMI PRZYNALEŻNOŚCI + t-NORMY. tO CHYBA NA TYLE
 \section{Odległości a podobieństwo}
W metodach bazujących na prototypach możliwe jest wykorzystanie dwóch typów operatorów: odległości ($D(O,P)$) lub podobieństwa ($S(O,P)$)\footnote{O oraz P oznaczają tu obiekty, które niekoniecznie posiadają opis wektorowy}. Pierwsze z wymienionych (odległości) zakładają równoważność obiektów, gdy $D(O,P)=0$, zaś całkowitą różność obiektów, gdy $D(O,P)=\inf$ lub dla odległości znormalizowanych $D'(O,P)=1$. W przypadku podobieństwa równoważność $O$ oraz $P$ określa się po normalizacji jako $S(O,P)=1$, natomiast jej całkowity brak, jako $S(O,P)=0$.\\
 Taka różnorodność powoduje konieczność zdefiniowania operatorów, które pozwolą na wzajemną transformację obydwu typów miar między sobą. Jest to tym bardziej niezbędne, gdyż systemy rozmyte posiadają bezpośrednią interpretację jako metod prototypowych bazujących na podobieństwach. Wzajemne porównanie więc systemów możliwe jest jedynie przy założeniu pokazania równoważności koniunkcji funkcji przynależności z odpowiednimi funkcjami odległości.\\
Najogólniej wzajemną transformację pomiędzy odległością a podobieństwem można zapisać jako \reff{eq:SimDist}
%
\be \label{eq:SimDist}
\begin{array}{l}
S(\Bx,\Bp) = T\left( {D(\Bx,\Bp)} \right) \\
D(\Bx,\Bp)= T^{- 1}\left( {D(\Bx,\Bp)} \right) \\
\end{array}
\ee
%
gdzie $T(\cdot)$ oznacza monotoniczną funkcję dokonującą transformacji. Najprostszą postacią jest liniowa zależność pomiędzy odległością, a podobieństwem, którą można wyrazić jako \reff{eq:SimpDistSim1}   \cite{Hand-DataMining} przy założeniu znormalizowanej odległości.
\be \label{eq:SimpDistSim1}S(O,P) = 1 - D'(O,P) \ee
%
%\be \label{eq:SimpDistSim2} D(O,P) = \sqrt {2(1 - S(O,P))} \ee
Inną możliwą postacią transformacji \reff{eq:SimDist} jest funkcja \reff{eq:TransformAdd}. Jej cechą jest  transformacja addytywnej funkcji odległości do postaci iloczynowej funkcji podobieństwa \reff{eq:TransformEx}.
 \be
\begin{array}{l} \label{eq:TransformAdd}
 S( \Bx,\Bp) = \exp \left( { - D(\Bx,\Bp)^q } \right) \\
 D( \Bx,\Bp)^q  =  - \ln \left( { S(\Bx,\Bp)} \right) \\
 \end{array}
 \ee
%
 \be \label{eq:TransformEx}
 S(\Bx,\Bp) = \exp \left(- {D(\Bx,\Bp)^q } \right) = \exp \left(- {\sum\limits_{i = 1}^n {d(x_i ,y_i)} } \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {\exp \left(- d(x_i ,y_i)\right)}
 \ee
%
gdzie $\alpha$ to wykładnik potęgi funkcji odległości Minkowskiego. 
Innymi możliwościami transformacji odległości do podobieństwa są funkcje 
 \reff{eq:TransformD1},\reff{eq:TransformD2} oraz \reff{eq:TransformCTAN}.

 \be \label{eq:TransformD1}
 S(\Bx,\Bp) = \frac{1}{1 + D^\alpha(\Bx,\Bp) }
 \ee
 \be \label{eq:TransformD2}
 S(\Bx,\Bp) = \frac{1}{D^\alpha(\Bx,\Bp) }
 \ee
 %
 \be \label{eq:TransformCTAN}
 D^\alpha(\Bx,\Bp) = ctan\left( {\frac{\Pi }{2}S\left( {x_i ,y_i } \right)} \right)
 \ee
Przedstawione metody wzajemnej transformacji odległości i podobieństwa są jedynie przykładowymi przekształceniami \cite{Martinez-IBL}, których można wyznaczyć znacznie więcej. Zgodnie z definicją Kunchevy użytą w opisie klasyfikatora GNPC \cite{Kunch-GNPC} odpowiednią funkcją transformującą jest dowolna monotonicznie malejąca funkcja $T(\cdot)$.

%Innymi możliwościami transformacji poszczególnych składowych odległości do podobieństwa są funkcje 
% \ref{eq:TransformD} and \ref{eq:TransformCTAN}.
%
% \be \label{eq:TransformD}
% s(x_i ,y_i) = \frac{1}{{1 + d\left( {x_i ,y_i } \right)^2 }}
% \ee
% %
% \be \label{eq:TransformCTAN}
% d\left( {x_i ,y_i } \right) = ctan\left( {\frac{\Pi }{2}s\left( {x_i ,y_i } \right)} \right)
% \ee
%Przedstawione metody wzajemnej transformacji odległości oraz podobieństwa mają szczególne znaczenie przy analizie relacji pomiędzy systemami bazującymi na odległościach a systemami rozmytymi..

%---------------------------------------------------WSTĘP------------------------------------
 \section{Równoważność odległości oraz funkcji przynależności}
Jak wspominano powyżej, z punktu widzenia funkcjonalnego obydwa typy systemów są przy założeniu pewnych ograniczeń równoważne, jednakże każdy z nich ma pewne funkcjonalne zalety. Dla systemów rozmytych jest to bogata liczba różnego rodzaju operatorów, zaś systemy prototypowe cechuje różnorodność funkcji odległości, które jednak muszą spełniać własność separowalności by móc zostać wyrażone w postaci koniunkcji funkcji przynależności. Duże możliwości dla obydwu typów systemów daje więc zbadanie i porównanie funkcji odległości używanych powszechnie w metodach prototypowych  oraz funkcji przynależności wraz z odpowiednimi operatorami koniunkcji reguł rozmytych. Dzięki temu uzyskuje się wzrost elastyczności obydwu systemów oraz możliwość wzajemnej transformacji jednych w drugie \cite{Blachnik-FuzzyProto}.\\ 
W poniższych analizach dla uproszczenia założono model wnioskowania TSK typu (1) co odpowiada prostemu modelowi \kNN. 

 \subsection{Od funkcji przynależności do funkcji odległości}
Najczęściej stosowanym operatorem przecięcia zbiorów rozmytych jest operator iloczynu algebraicznego, a więc uzyskana przy jego pomocy funkcja podobieństwa przyjmuje postać \reff{eq:ProdMf}
\be \label{eq:ProdMf}
S(\Bx,\Bp)=\prod\limits_{i=1}^n (\mu(x_i;p_i))
\ee
gdzie $\mu(x_i;p_i)$ jest funkcją przynależności, dla której $p_i$ jest parametrem określającym jej położenie. Dla tak zdefiniowanej funkcji podobieństwa (T-norma typu iloczyn) odpowiednia transformacja do postaci odległości realizowana jest poprzez przekształcenie \reff{eq:TransformAdd} \cite{Hand-DataMining}. Zastosowanie tej transformacji do iloczynu Gaussowskich funkcji przynależności równoważne jest kwadratowi odległości Euklidesa.\\
Powyższy przykład stanowi dowód na równoważność systemów TSK typu 1 z Gaussowskimi funkcjami przynależności oraz operatorem T-norma typu iloczyn i klasyfikatora 1-NN.\\
Identyczna transformacja iloczynu trójkątnych funkcji przynależności prowadzi do logarytmicznej postaci funkcji odległości. Oznacza to, że iloczyn liniowo opadających funkcji przynależności (stożkowa funkcja podobieństwa) \reff{eq:TriMf}
%
%(13)
\be \label{eq:TriMf}
 \mu (x_i ;p_i) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   { - |x_i  - p_i| + 1} & |x_i  - p_i| \le 1  \\
   0 & |x_i  - p_i| > 1 \\
\end{array}} \right.
\ee
%
równoważny jest logarytmicznej funkcji odległości. Zostało to pokazane na zależności \reff{eq:DistLN} oraz rys.\reff{fi:TriMf2Dist}
\bfig 
   \subfigure[Funkcje przynależności]{{\epsfig{figure=pic/TriMf1,width=5.7cm}}{\epsfig{figure=pic/TriMf2,width=5.7cm}}}
   \subfigure[Funkcja odległości]{\epsfig{figure=pic/TriMf2Dist,width=5.7cm}}
   \subfigure[Przykładowa granica decyzji dla trzech prototypów lub trzech reguł rozmytych]{\epsfig{figure=pic/TriMfContur,width=5.7cm}}
	\caption{Trójkątna funkcja przynależności z T-normą iloczynową oraz odpowiadająca jej funkcja odległości.}
\label{fi:TriMf2Dist}
\efig

\beq \label{eq:DistLN}
%\begin{array}{c}
 D(\Bx,\Bp) =  - \ln \left( {S(\Bx,\Bp)} \right) = \\  
 = - \ln \left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\left\{ 
{\begin{array}{*{20}c}
   - |x_i  - p_i| + 1 & |x_i  - p_i| \le 1  \\ 
   0 & |x_i  - p_i| > 1  \\ 
\end{array}} 
\right.} } \right) \\ 
 D(\Bx,\Bp) = \left\{ 
{\begin{array}{*{20}c}
   - \sum\limits_{i = 1}^n \ln ( - |x_i  - p_i| + 1) & |x_i  - p_i| \le 1   \\
   0 & |x_i  - p_i| > 1   \\ 
\end{array}} 
\right.    
%\end{array}
\eeq
%
Logarytmiczny kształt funkcji odległości wskazuje, iż dla obiektów znajdujących się w pobliżu wektora referencyjnego następuje powolny wzrost odległości, zaś przekroczeniu pewnego progu $\Theta$ towarzyszy jej gwałtowny wzrost. Tak zdefiniowana funkcja odległości ma dodatkową własność, którą jest ograniczenie obszaru aktywacji. Oznacza to, że dla skończonej różnicy położenia pomiędzy wektorami, wartość odległości osiąga nieskończoność. Na uwagę zasługuje również fakt, iż uzyskany wynik nie jest odległością w sensie matematycznym, ponieważ funkcja ta nie spełnia zasady trójkąta.\\
Podobny kształt funkcji odległości uzyskiwany jest dla funkcji trapezoidalnej, z tą różnicą, że obszar pełnej przynależności równoważny jest zerowej wartości odległości.\\
Innym przykładem często stosowanego operatora T-normy jest operator minimum. Granica decyzji systemu rozmytego, bazującego na takim operatorze równoważna jest odległości Czebyszewa, przy czym składniki odległości można przetransformować wykorzystując dowolną monotoniczną postać transformacji $T(\cdot)$. Ten typ odległości stosowany jest również w systemach reguł-P w celu uzyskania zbioru reguł ostrych.\\
Dla T-normy Łukasiewicza \reff{eq:T-Norm-Luk} odpowiednią transformacją do postaci znormalizowanej odległości jest transformacja \reff{eq:SimDist}. Proces transformacji został pokazany w \reff{eq:Dist-Luk}
\be \label{eq:T-Norm-Luk} 
S(\Bx,\Bp) = \max \left( {\mu _1 (x_1
|p_1) + \mu _2 (x_2 |p_2) - 1,0} \right) 
\ee
\be \label{eq:Dist-Luk}
\begin{array}{l}
 D(\Bx,\Bp) = 1 - \max \left( {\mu _1 (x_1 |p_1) + \mu _2 (x_2 |p_2) - 1,0} \right) =  \\
 \min \left( {(1 - \mu _1 (x_1 |p_1)) + (1 - \mu _2 (x_2 |p_2)),1} \right) \\
 \end{array}
\ee
%---------------------------------------------------WSTĘP------------------------------------
 \subsection{Od funkcji odległości do funkcji przynależności}
Równie ciekawym procesem jest transformacja funkcji odległości do postaci funkcji przynależności. Ponieważ większość funkcji odległości ma postać addytywną, dlatego też odpowiednią transformacją $T(\cdot)$ jest \reff{eq:TransformAdd}. Transformacja pomiędzy odległości Euklidesa bądź też innymi odległościami Minkowskiego a odpowiednimi funkcjami przynależności została opisana w poprzednim podrozdziale, a zarazem jest ona dosyć oczywista. Dosyć ciekawą funkcją odległości jest odległość Canberra \reff{eq:Canberra} - ponieważ również ona jest addytywną funkcją odległości transformacji dokonuje się poprzez \reff{eq:TransformAdd}, co zostało pokazane jako \reff{eq:Eucl2Sim}.
\be
\begin{array}{l}
 S(\Bx,\Bp) = \exp \left( {D(\Bx,\Bp)^q } \right) = \exp \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {\frac{x_i  - p_i}{x_i  + y_i }} \right|} } \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {\exp \left( {\left| {\frac{x_i  - p_i }{x_i  + p_i }} \right|} \right)}  \\
 \mu \left( {x_i ;p_i } \right) = \exp \left( {\left| {\frac{x_i  - p_i }{x_i  + p_i }} \right|} \right) \\
 \end{array}
\label{eq:Eucl2Sim}
\ee
%
Kształt uzyskanej funkcji przynależności przedstawia rys.\reff{fi:Canberra2MF}
%
\bfig 
\subfigure[Funkcja odległości]{\epsfig{figure=pic/CanDist2Mf,width=5.7cm}}
\subfigure[Przykładowa granica decyzji dla trzech prototypów lub trzech reguł rozmytych]{\epsfig{figure=pic/CamberraBorder,width=5.7cm}}
\subfigure[Funkcje przynależności]{{\epsfig{figure=pic/CamMf1,width=5.7cm}}{\epsfig{figure=pic/CamMf2,width=5.7cm}}}

\caption{Odległość Canberra oraz odpowiadająca jej funkcja przynależności}
\label{fi:Canberra2MF}
\efig
%
Innym przykładem addytywnej funkcji odległości jest odległości VDM, która jest jedną z metod powszechnie stosowanych przy analizie danych symbolicznych. Jej transformacja do postaci funkcji przynależności częściowo rozwiązuje problem analizy danych symbolicznych, co stanowiło poważny problem w przypadku reguł-F. Proces transformacji odległości VDM do postaci iloczynu funkcji przynależności przedstawia przekształcenie \reff{eq:VDM2Mf}.
\be \label{eq:VDM2Mf}
\begin{array}{l}
 S(\Bx,\Bp) = \exp \left( { - D(\Bx,\Bp)^q} \right) = \exp \left( { - \sum\limits_{i = 1}^n \sum\limits_{j = 1}^c {\left| {p(C_j |x_i) - p(C_j |p_i)} \right|^q }  } \right) \\
 S(\Bx,\Bp) = \prod\limits_{i = 1}^n {\exp \left( { - \sum\limits_{j = 1}^c \left| {p(C_j |x_i) - p(C_j |p_i)} \right|^q  } \right)}  \\
 \mu(x_i |p_i) = \exp \left( { - \sum\limits_{j = 1}^c \left| {p(C_j |x_i) - p(C_j |p_i)} \right|^q } \right) \\
 \end{array}
\ee
%
Uzyskana postać funkcji przynależności nie posiada prostej interpretacji lingwistycznej (rys.\reff{fi:VDM2MF}), jednakże można ją traktować jako naturalny kształt przynależności do danej wartości symbolicznej.\\
\bfig 

	\subfigure[Rozkład $p(x|C_1)$ oraz $p(x|C_2)$]{{\epsfig{figure=pic/VDM-Prob,width=5.7cm}}}\\
   \subfigure[Funkcja odległości]{\epsfig{figure=pic/D-VDM,width=5.7cm}}
   \subfigure[Funkcja przynależności wyznaczona na podstawie odległości VDM]{\epsfig{figure=pic/MF-VDM,width=5.7cm}}
	\caption{Odległość VDM oraz odpowiadająca jej funkcja przynależności dla prototypu położonego w $\Bp=[4]$}
\label{fi:VDM2MF}
\efig
Cechą charakterystyczną i naturalną dla systemów rozmytych jest różnorodność funkcji przynależności stosowanych dla różnych atrybutów. Ta różnorodność w przypadku reguł-P uzyskiwana jest poprzez wykorzystanie odległości heterogenicznych. Rezultatem transformacji odległości heterogenicznych do postaci iloczynu funkcji przynależności jest więc równoważna przypisaniu różnych typów funkcji przynależności do odpowiednich atrybutów. 
%---------------------
%\subsection{Ważony algorytm \kNN a reguły rozmyte}
%Pewnym ograniczeniem zawartym w zbiorze metod reguł rozmytych jest fakt normalizacji wartości podobieństwa w przedziale $[0,1]$. Stanowi to jedną z istotnych różnic w stosunku do reguł prototypowych. \\
%Metody reguł prototypowych dosyć często operują poprzez wykorzystanie odległości, a nie podobieństwa, gdzie jedną z cech jest przedział zmienności od 0 do $\inf$. W przypadku reguł rozmytych, które posługują się parametrami wsparcia - należą do nich modele rozmyte TSK typu 2, 3 oraz model MA, wybór etykiety klasy uzyskujemy na podstawie danego modelu poprzez wybór klasy z największym współczynnikiem wsparcia. Podobne rozwiązania były od dłuższego czasu stosowane w przypadku metod bazujących na wektorach referencyjnych typu \kNN, gdzie wartość wsparcia określana była mianem głosowania ważonych odległości . Wartości głosów uzyskiwało się poprzez jedną z metod tak zwanego ważenia odległości. Dokładny opis różnych sposobów ważenia odległości  można znaleźć w \cite{Martinez-IBL}, gdzie autorzy pokazują ważenie z wykorzystaniem funkcji liniowej, Gaussowskiej oraz eksponencialanej. Najczęściej jednak stosowanymi są metody ważenia $w_i=1/D(\Bx,\Bp_i)$ lub $w_i=1 -D(\Bx,\Bp_i)'$. Na szczególną uwagę zasługuje tu pierwsza z metod, dla której wartości wag należą do przedziału [0,$\inf$]. Nie jest więc możliwe znalezienie równoważnego systemu rozmytego ze względu na wartości przyjmowanego wsparcia. 
%TU trzeba by coś napisać o tym że ważenie odległości jest równoważne różnym operatorom implikacji rozmytej. Pozwala to na .

%---------------------------------------------------WSTĘP------------------------------------
\section{Wnioski z równoważności systemów} 
Przedstawione możliwości wzajemnej transformacji przesłanek reguł prototypowych oraz rozmytych pozwalają na otwarcie nowych możliwości oraz funkcjonalności dla każdej z metod. Głównym zyskiem uzyskanym dla systemu reguł-P jest szereg nowych miar odległości nie stosowanych dotychczas w celu zrozumienia danych. Podobnie dla reguł-F przedstawiono nowe możliwości kształtów funkcji przynależności, w szczególności rozpatrując problem analizy cech symbolicznych. Odległość VDM stanowi tu ciekawe rozwiązanie, pozwalające na uzyskanie naturalnego kształtu funkcji przynależności dla cech symbolicznych. \\
Kolejną istotną cechą wynikającą z równoważności obydwu postaci reguł jest możliwość dostosowania wydobytej wiedzy do wymagań eksperta analizującego dany problem. W zależności od jego preferencji istnieje możliwość wzajemnej transformacji obydwu typów systemów do postaci równoważnych. Jest to tym bardziej istotne, iż dotychczas obydwa typy systemów najczęściej rozwijane były niezależnie, co spowodowało różnorodność rozwiązań stosowanych w obydwu typach reguł. Większość z przedstawionych w rozdziale \reff{chap:ProtoSel} metod selekcji prototypów nie była dotychczas stosowana w procesie ekstrakcji reguł oraz rozumienia danych. Równoważność obydwu typów systemów pozwala więc na reprezentację wiedzy pochodzącą z metod selekcji prototypów do postaci zbioru reguł rozmytych.\\
Bardzo istotną pochodną omówionych tutaj metod transformacji jest integracja podobieństwa z logiką. Ma to szczególne znaczenie dla badań kognitywnych, pozwalając na ,,logiczną'' analizę i interpretację uzyskanych wyników badań. 
