Q&A - prezentacje (wersja z 7 czerwca 2021)

1. Siły kontaktowe (slajd 15)

a) Jaki zwrot i kierunek ma "normalna"? 

"Normalna" lub inaczej wektor normalny to wektor prostopadły do płaszczyzny obszaru niedostępnego. Zazwyczaj zakłada się, że ten wektor jest unormowany (jednostkowy), czyli ma długość równą jedności.
Składowa normalna wektora (siły lub prędkości) oznacza składową prostopadłą do powierzchni. Możemy ją uzyskać rzutując ten wektor na wektor normalny: (n*F)n (wszystkie symbole oznaczają wektory, a * oznacza iloczyn wektorowy).

b) Do czego służą wzory do wyliczenia F|| i v|| w slajdzie o siłach kontaktowych? 

Siła F|| to siła, jaka "pozostaje" w momencie kontaktu punktu materialnego z obszarem niedostępnym po usunięciu składowej prostopadłej do powierzchni. 
Proszę wyobrazić sobie pszczołę lecącą w kierunku zamkniętego okna. W momencie, gdy zetknie się z szybą, siła pochodząca od ruchów skrzydeł zostaje zmodyfikowana przez oddziaływanie ze szkłem. Pozostanie tylko składowa równoległa do płaszczyzny szyby, która spowoduje przesuwanie pszczoły po szybie (załóżmy, że nie ma tarcia). Jeżeli pszczoła leciała wprost na szybę (nie pod kątem), cała siła jest równoważona przez siłę, z jaką szyba działa na pszczołę (a ta pochodzi od nacisku na szybę przez pszczołę zgodnie z trzecią zasadą dynamiki).

Prędkość v|| jest uzyskana analogicznie, choć mniej formalnie. To prędkość tuż po zderzeniu z nieruchomym obiektem, która uwzględnia efekt odbicia od tego obiektu.
Uwaga! Użycie symbolu równoległości || w przypadku prędkości (v||) jest trochę naciągane. Został użyty analogicznie, jak w F||, ale znak równoległości ma sens tylko, gdy współczynnik odbicia równy jest 0, czyli z prędkości usunięta jest cała składowa prostopadła i wektor, jaki pozostaje jest równoległy do powierzchni. W pozostałych przypadkach tak nie jest.

Obliczenie F|| i v|| jest niezbędne do prowadzenia symulacji punktów materialnych, w których możliwe jest oddziaływanie z nieruchomymi obszarami niedostępnymi.

c) Co miał Pan na myśli przez "jedność" omawiając v||?

Terminu "jedność", a dokładnie "współczynnik odbicia równy jedności" użyłem omawiając modyfikację prędkości w momencie zderzenia z obszarem niedostępnym. Zmieniana jest wówczas składowa normalna prędkości, czyli (n*v)v (konwencja symboli jak wyżej). W przypadku zderzenia idealnie niesprężystego składowa ta jest całkowicie usuwana: v|| = v - (n*v)n. W przypadku zderzenia idealnie sprężystego, czyli gdy współczynnik odbicia równy jest 1, składowa normalna jest zmieniana na przeciwną: v - 2(n*v)v.

Weźmy dla przykładu podłoże ułożone w y = 0 tj. w płaszczyźnie OXZ (współrzędna y jest skierowana do góry). Niech piłka upada na to podłoże z prędkością v = [1, -2, 0], czyli poruszając się w kierunku x^ oraz w dół do podłoża (w kierunku y^). Kierunek normalny do podłoża to n = y^. Wówczas składowa normalna wektora prędkości to vy = -2, bo n*v = [0, 1, 0]*[1, -2, 0] = -2 (gwiazdka * nadal oznacza iloczyn skalarny dwóch wektorów, czyli sumę iloczynów ich odpowiednich współrzędnych). Wektor (n*v)n będzie wobec tego równy -2 * [0, 1, 0] = [0, -2, 0]. Jeżeli odbicie jest idealnie sprężyste, czyli wodb = 1, to prędkość po odbiciu będzie równa [1, -2, 0] - (1 + 1) * [0, -2, 0] = [1, -2, 0] - 2 * [0, -2, 0] = [1, -2, 0] - [0, -4, 0] = [1, 2, 0], co oznacza w tym przypadku zmianę znaku składowej y, czyli tej, która jest prostopadła do powierzchni podłoża. W sytuacji, gdyby podłoże nie było ustawione wzdłuż osi, to ta zmiana byłaby mniej oczywista - nie dotyczyłaby tylko jednej współrzędnej. W efekcie odbicia idealnie sprężystego szybkość piłki (długość wektora prędkości) nie zmienia się, ale zmienia się kierunek jej prędkości w taki sposób, jakby piłka odbiła się od podłoża. Nadal będzie poruszać się w kierunku x, ale zamiast w dół (ujemna współrzędna y), teraz porusza się do góry (dodatnia współrzędna y o tej samej wartości).

2. Co znaczy 'z' z daszkiem we wzorze na ruch w stałym polu grawitacyjnym? (slajdy 30-32)

Daszek oznacza wektor jednostkowy, czyli wersor. z^ oznacza wektor jednostkowy w kierunku osi OZ (czasem używa się zamiast x^, y^ i z^ oznaczeń i^, j^ i k^).
Daszka można użyć z dowolnym wektorem np v^ = v/|v|, ale zwykle używa się ich dla oznaczenia wektorów jednostkowych wyznaczających kierunki osi układu współrzędnych.

Wersor z^ we wzorze na siłę nośną samolotu (slajd 30) oznacza, że siła działa w górę samolotu, zatem w tym wzorze z^ jest wersorem lokalnego układu współrzędnych samolotu wyznaczającym jego górę. Siła ta będzie więc różnie skierowana w zależności od tego, czy samolotu leci poziomo, czy wznosi się lub opada.

3. Czym jest we wzorze na siły działające na samochód M i k przy sile popychającej? (slajdy 23-28)

Wielkość M (we wzorach powinno być wektora) jest wielkością kontrolowaną przez kierowcę poprzez naciskanie pedału "gazu" z uwzględnieniem przełożenia skrzyni biegów.
Wektor k to kierunek w jakim ciągnięty jest samochód przez koła (w uproszczeniu, że siła ta przyłożona jest do środka masy samochodu). Jego kierunek kontrolujemy za pomocą kierownicy samochodu.