http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/ 2026-05-14T19:41:47+00:00 http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/ http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/umk.pl/~grochu/wiki/lib/tpl/bootstrap3/images/favicon.ico text/html 2023-10-02T12:17:30+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/doku.php?id=zajecia:mn:01_c&rev=1696249050&do=diff * wybór środowiska programistycznego IDE * struktura programu * deklaracja zmiennych, podstawowe typy * wczytanie danych i wydruk na ekran (rożne dokładności, liczba miejsc znaczących) * pętle, instrukcje warunkowe * funkcje, $x$$x_{0}$$$\Delta x = x - x_{0} $$$x_{0}$$$\delta_x = \frac{\Delta x}{x_{0}}$$$$y = ax^2 + bx + c$$$a, b, c$$\sqrt{\Delta}$$b$$\sqrt{2}$$f(x) = a_{n}x^n + \ldots + a_2x^2 +a_1x + a_0$$$\sum_{n=0}^{\infty} q^{n}=1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots \qquad \text{dla}\quad … text/html 2023-10-10T13:37:58+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/doku.php?id=zajecia:mn:02_bledy&rev=1696945078&do=diff * błędy zaokrąglenia Round-off_error wynikające ze skończonej precyzji obliczeń * błędy obcięcia Truncation_error wynikające z przybliżenia stosowanego w obliczeniach matematycznych Utrata cyfr znaczących Loss of significance - znaczny wzrost błedu względnego w wyniku operacji na liczbach w skończonej precyzji$$\Delta x=\left|x-x_{0}\right|$$$$\delta=\frac{\Delta x}{x}=\frac{\left|x-x_{0}\right|}{x}$$$x$$$x = \pm m \cdot 2^{c}$$$t$$m$$$\epsilon \le 2^{-t} $$$t=23$$ 2^{-t} \approx 1.2 \cdo… text/html 2023-10-17T12:55:45+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/doku.php?id=zajecia:mn:03_diff&rev=1697547345&do=diff $$f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ Z szeregu Tylora $$f(x+h)=f(x)+h f^{\prime}(x)+\frac{h^{2}}{2 !} f^{\prime \prime}(x)+\frac{h^{3}}{3 !} f^{\prime \prime \prime}\left(\xi_{1}\right)$$ Stąd przybliżenie $$f^{\prime}(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} + O(h)$$ * dwupunktowe różnice zwykłe (progresywne) $$f^{\prime}\left(x_{i}\right)=\frac{f\left(x_{i+1}\right)-f\left(x_{i}\right)}{h} + O(h)$$ * dwupunktowe różnice wsteczne $$f^{\prime}\left(x_{i}\right)=\f… text/html 2023-10-24T13:31:33+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/doku.php?id=zajecia:mn:04_nonlin&rev=1698154293&do=diff Iteracyjne metody znajdowania miejsc zerowych funkcji $$f(x) = 0 $$ Problemy: * lokalizacja pierwiastka (punkt startowy, przedział izolacji) * zbieżność procesu iteracyjnego, szybkość zbieżności * Metody dwupunktowe * bisekcji (połowienia)$f(a) \cdot f(b) < 0$$[a, b]$$[a, b]$$[a,b]$$f(a)f(b)<0$$$x_{0}=a+\frac{b-a}{2}$$$|f(x_0)| < \epsilon$$x_0$$f(x_0)$$f(a)$$[x_0, b]$$f(x_0)$$f(b)$$[a, x_0]$$f(x) = x^2 - 1$$[0, 1.5]$$[2, 3]$$n$$$ \frac{1}{2^n}(b - a) $$$\frac{1}{2}$$x_0$$x_1$$$x_{… text/html 2023-11-13T15:41:17+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/doku.php?id=zajecia:mn:05_nonlin2&rev=1699890077&do=diff * Metody dwupunktowe * bisekcji (połowienia) * siecznych * regula falsi * Metody jednopunktowe * stycznych (Newtona) * metoda iteracji prostych (punktu stałego) Metoda stycznej (Newtona-Raphsona) uwzględnia kształt funkcji $f'(x)$$x_0$$$y(x)=f^{\prime}\left(x_{o}\right)\left(x-x_{o}\right)+f\left(x_{o}\right)$$$$x_{i+1}=x_{i}-\frac{f\left(x_{i}\right)}{f^{\prime}\left(x_{i}\right)}$$$|x_{x+1} - x_i|<\epsilon$$|f(x_i)| < \epsilon$$f'$$f''$$f'$$f(x) = x^3 + x - 1$$f'(x) = 3x… text/html 2023-11-13T15:44:27+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/doku.php?id=zajecia:mn:06_integrate&rev=1699890267&do=diff $$I=\int_{a}^{b} f(x) d x$$ pole powierzchni pod funkcją na odcinku $[a,b]$ * kwadratura - przybliżenie całkowanej funkcji za pomocą $Q(f)=\sum_{i=0}^{n} A_{i} f\left(x_{i}\right)$ * kwadratury Newtona-Cotesa, o stałych odległościach węzłów * kwadratury Gaussa * całkowanie Monte Carlo $$\int_{a}^{b} f(x) dx \approx (b-a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)$$ $$\int_{a}^{b} f(x) d x \approx(b-a)\left(\frac{f(a)+f(b)}{2}\right)$$ $$\int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a)+4… text/html 2023-11-21T18:43:44+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/doku.php?id=zajecia:mn:07_mc&rev=1700592224&do=diff $$F = \int_{a}^{b} f(x) d x$$ pole powierzchni pod funkcją na odcinku $[a,b]$ $$\left\langle F^{N}\right\rangle=(b-a) \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} f\left(X_{i}\right)$$ gdzie $X_{i}$ jest zmienną losową z rozkładu jednostajnego na odcinku $[a,b]$. Dla próby $N=4$ Warto zauważyć, że $$\operatorname{Pr}\left(\lim _{N \rightarrow \infty}\left\langle F^{N}\right\rangle=F\right)=1$$ #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<time.h> int main() { double a=0.0, b=1.0, x; int i, n … text/html 2023-12-05T14:56:03+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/doku.php?id=zajecia:mn:09_interpolation&rev=1701788163&do=diff Interpolacja – poszukuje funkcji interpolacyjnej, która przyjmuje określone wartości $f(x_i)$ w ustalonych punktach (węzłach) $x_i$ Aproksymacja punktowa, regresja, dopasowanie krzywej - przybliżenie zbioru punktów funkcją ciągłą. Interpolacja wielomianowa, dla $n+1$$n$$$W_n(x) =\sum_{j=0}^{n} y_{j} \prod_{k=0 \atop k \neq j}^{n} \frac{\left(x-x_{k}\right)}{\left(x_{j}-x_{k}\right)}$$$n=1$$$W_{1}(x)=\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}} y_{1}+\frac{x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}} y_{0}$$$n=2$$$P_{n}(x)=a_{0}+\le… text/html 2022-09-20T15:53:46+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/doku.php?id=zajecia:mn:09b_exstrapolation&rev=1663689226&do=diff * wielomian interpolacyjny Lagrange'a - uwaga ne efekt Rungiego, głównie wielomiany niskiego stopnia * liniowa - dla 2 ostatnich węzłow * parabola - dla3 węzłów * <https://en.wikipedia.org/wiki/Extrapolation> * dopasowanie krzywej, np. metoda najmniejszych kwadratów (dopasowanie linii) text/html 2024-01-08T16:11:38+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/doku.php?id=zajecia:mn:10_uklady_rownan_1&rev=1704730298&do=diff $$ \left\{ \begin{array}{c} 2 x+y-z=8 \\ -3 x-y+2 z=-11 \\ -2 x+y+2 z=-3 \end{array} \right.$$ Zapis macierzowy $$\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$$ gdzie $$ \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \end{array}\right) \quad \mathbf{x}=\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \quad \mathbf{b}=\left(\begin{array}{c} 8 \\ -11 \\ -3 \end{array}\right) $$ Poszukujemy $\mathbf{x}$ rozwiązując $n$ równań z $n$ niewiadomymi $$\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$$ … text/html 2024-01-09T14:15:44+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/doku.php?id=zajecia:mn:11_uklady_rownan_2&rev=1704809744&do=diff Poszukujemy wektora $\mathbf{x}$ który spełnia $$\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$$ $$\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n} \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ \ldots \\ x_{n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} b_{1} \\ b_{2} \\ \ldots \\ b_{n} \end{array}\right]$$ * Dokładne: * wyznaczniki Cramera * Eliminacja G… text/html 2022-09-20T15:53:46+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/doku.php?id=zajecia:mn:12_uklady_rownan_3&rev=1663689226&do=diff Poszukujemy wektora $\mathbf{x}$ który spełnia $$\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$$ $$\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n} \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ \ldots \\ x_{n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} b_{1} \\ b_{2} \\ \ldots \\ b_{n} \end{array}\right]$$ * Dokładne: * wyznaczniki Cramera * Eliminacja G… text/html 2024-01-16T16:53:49+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/doku.php?id=zajecia:mn:13_rozniczkowe&rev=1705424029&do=diff Przykład: $$\frac{dy}{dx} = 3 xy $$ $$x^2 y'' + axy' + y = 0$$ Równanie różniczkowe zwyczajne - jedna zmienna niezależna Rząd równania - rząd najwyższej pochodnej Szukamy funkcji $y(x)$ Rozwiązanie numeryczne: wartość funkcji $y(x_i)$ w węzłach $x_i$ Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego $$ \frac{dy}{dx} = f(x, y)$$$$ y(x_0) = y_0 $$$y(x_i)$$x_i$$h = x_{i+1} -x_{i}$$$ y_{i+1} = y_{i} + h \cdot f(x_i, y_i) $$$$ y(x+h)-y(h)=\int_x^{x+h} y^{\prime} d x=\int_x^{x+h} f(x, y) d x … text/html 2024-01-22T14:07:58+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/doku.php?id=zajecia:mn:14_rozniczkowe_2&rev=1705932478&do=diff * Metody Rungego-Kutty * układy równań różniczkowych * równania różniczkowe wyższego rzędu Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego $$ \frac{dy}{dx} = f(x, y)$$ warunek początkowy $$ y(x_0) = y_0 $$ Szukamy funkcji $y(x)$. Rozwiązanie numeryczne: wartości funkcji $y(x_i)$ w węzłach $x_i$$$y_{n+1}=y_{n}+\sum_{i=1}^{s} w_{i} k_{i}$$$$\begin{array}{l} k_{1}=h f\left(x_{n}, y_{n}\right) \\ k_{i}=h f\left(x_{n}+a_{i} h, y_{n}+\sum_{j=1}^{i-1} b_{i j} k_{j}\right), \qquad i>1 \\ \end{… text/html 2022-09-21T14:42:42+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/doku.php?id=zajecia:mn:sidebar_backup&rev=1663771362&do=diff MNI Strona główna Lab 1. Język C - powtórka Lab 2. Błedy numeryczne Lab 3. Różniczkowanie Lab 4. Rozwiązywanie równań nieliniowych Lab 5. Rozwiązywanie równań nieliniowych 2 Lab 6. Całkowanie Lab 7. Monte Carlo Lab 8. Kolokwium Lab 9. Interpolacja Lab 10. Równania liniowe Lab 11. Równania liniowe c.d. Lab 12. Równania liniowe c.d. Lab 13. Równania różniczkowe Lab 14. Równania różniczkowe c.d. Lab 15. Kolokwium text/html 2022-09-20T15:53:46+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/doku.php?id=zajecia:mn:sidebar_python&rev=1663689226&do=diff PP1 laboratorium Start 1. 01_Wprowadzenie.ipynb <https://colab.research.google.com/github/IS-UMK/mn/blob/main/01_Wprowadzenie.ipynb> <https://mybinder.org/v2/gh/IS-UMK/mn/main?filepath=01_Wprowadzenie.ipynb> 2. 02_python.ipynb <https://colab.research.google.com/github/IS-UMK/mn/blob/main/02_python2.ipynb> <https://mybinder.org/v2/gh/IS-UMK/mn/main?filepath=02_python2.ipynb> text/html 2024-01-30T16:41:42+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/doku.php?id=zajecia:mn:sidebar&rev=1706632902&do=diff MNI Strona główna * Język C - powtórka * Zadanie 1 * Błedy numeryczne * Zadanie 2 * Różniczkowanie * Zadanie 3 * Rozwiązywanie równań nieliniowych * Zadanie 4 * Rozwiązywanie równań nieliniowych 2 * Zadanie 5 * Całkowanie * Zadanie 6 * Monte Carlo * Zadanie 7 * Kolokwium 1 * Interpolacja * Zadanie 8 * Równania liniowe * Zadanie 9 * Równania liniowe c.d. * Zadanie 10 * Równania różniczkowe * Zadanie 11 * Równania różniczk… text/html 2022-09-20T15:53:46+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/doku.php?id=zajecia:mn:start_python&rev=1663689226&do=diff Metody Numeryczne I Laboratorium W semestrze zimowym 2020/2021 laboratorium odbywa zdalnie za pośrednictwem platformy Moodle w poniedziałki w godz. 12-14 Zaliczenie laboratorium Warunkiem zaliczenia zajęć jest * rozwiązanie zadań z laboratoriów text/html 2023-09-28T09:28:05+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://fizyka.umk.pl/~grochu/wiki/doku.php?id=zajecia:mn:start&rev=1695893285&do=diff Metody Numeryczne I Laboratorium W semestrze zimowym 2023/24 laboratorium odbywa się we wtorki w godz. 18:00-20:0 w sali PK1 WFAiIS MNI Strona główna * Język C - powtórka * Zadanie 1 * Błedy numeryczne * Zadanie 2 * Różniczkowanie * Zadanie 3 * Rozwiązywanie równań nieliniowych * Zadanie 4 * Rozwiązywanie równań nieliniowych 2 * Zadanie 5 * Całkowanie * Zadanie 6 * Monte Carlo * Zadanie 7 * Kolokwium 1 * Interpolacja *