Lab. 3 Różniczkowanie numeryczne

Definicja pochodnej

$$f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Z szeregu Tylora

$$f(x+h)=f(x)+h f^{\prime}(x)+\frac{h^{2}}{2 !} f^{\prime \prime}(x)+\frac{h^{3}}{3 !} f^{\prime \prime \prime}\left(\xi_{1}\right)$$

Stąd przybliżenie

$$f^{\prime}(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} + O(h)$$

Dwupunktowe różnice

• dwupunktowe różnice zwykłe (progresywne)

$$f^{\prime}\left(x_{i}\right)=\frac{f\left(x_{i+1}\right)-f\left(x_{i}\right)}{h} + O(h)$$

• dwupunktowe różnice wsteczne

$$f^{\prime}\left(x_{i}\right)=\frac{f\left(x_{i}\right)-f\left(x_{i-1}\right)}{h} + O(h)$$

• dwupunktowe różnice centralne

$$f^{\prime}\left(x_{i}\right)=\frac{f\left(x_{i+1}\right)-f\left(x_{i-1}\right)}{2 h} + O(h^2)$$

Trzypunktowe różnice

• trzypunktowe różnice zwykłe (prograsywne)

$$f^{\prime}\left(x_{i}\right)=\frac{-3 f\left(x_{i}\right)+4 f\left(x_{i+1}\right)-f\left(x_{i+2}\right)}{2 h} + O(h^2)$$

• trzypunktowe różnice wsteczne

$$f^{\prime}\left(x_{i}\right)=\frac{f\left(x_{i-2}\right)-4 f\left(x_{i-1}\right)+ 3 f\left(x_{i}\right)}{2 h} + O(h^2) $$

Przykład

Pochodna funkcji $f(x) = e^x$

Wartość dokładna $f'(x) = e^x$

exp_diff.c

#include <stdio.h>
#include <math.h>

float exp_diff_for(float x, float h)
{
    return (exp(x+h) - exp(x))/h ;
}

int main()
{
  int n;
  float x = 1.0, h, fx, err, ex;
  
  ex = exp(x);
  
  printf("# exact = %f\n", ex);
  printf("#   h         diff            error\n");
  for(h = 1e-1; h > 1e-6; h = h / 2.0)
  {
      fx = exp_diff_for(x, h);
      err = fabs((ex - fx) / ex);
      printf("%10.7lf %15.10lf %15.10lf\n", h, fx, err);
  }

  return 0;
}

Ćwiczenie

Dodaj do programu wyznaczającego wartość pochodnej funkcji $e^x$ za pomoca różnic zwykłych dokładniejszą metodę (np. dwupunktową różnice centralną, trzypunktową różnicę, …) i porównaj błąd względny obu metod dla różnych wartości kroku $h$.

Błąd zaokrąglenia i obcięcia

Druga pochodna

• różnice trzypunktowe zwykłe (progresywne)

$$f^{\prime \prime}\left(x_{i}\right)=\frac{f\left(x_{i}\right)-2 f\left(x_{i+1}\right)+f\left(x_{i+2}\right)}{h^{2}} + O(h)$$

• różnice trzypunktowe wsteczne

$$f^{\prime \prime}\left(x_{i}\right)=\frac{f\left(x_{i-2}\right)-2 f\left(x_{i-1}\right)+f\left(x_{i}\right)}{h^{2}} + O(h)$$

• różnice trzypunktowe centralne

$$f^{\prime \prime}\left(x_{i}\right)=\frac{f\left(x_{i-1}\right)-2 f\left(x_{i}\right)+ f\left(x_{i+1}\right)}{h^{2}} + O(h^2)$$

Róźnice wyższego stopnia

Zobacz: Finite_difference_coefficient - współczynniki dla siatki o równoodległych węzłów

Zadanie 3

Treść zadania znajduje się w Moodle pod adresem Zadanie 3

Dodatkowe ćwiczenia

Ćw. 1

Policzyć pochodną funkcji $f(X) = x \sin{x} $ ⁡w punkcie $x= \pi$ korzystając z metody dwupunktowej „w przód” i „w tył” oraz różnicy centralnej. Zbadaj jak zmienia się błąd względny i bezwzględny wyznaczenia pochodnej dla różnych wartości $h = 1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001$.

Ćw. 2

Policzyć drugą pochodną funkcji $f(X) = x \sin{x} $ ⁡w punkcie $x= \pi$ korzystając z metody trzypunktowej centralnej. Zbadaj jak zmienia się błąd względny i bezwzględny wyznaczenia pochodnej dla różnych wartości $h = 1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001$.

Ćw. 3

Plik heart_rate.csv zawiera przykład elektrokardiogramu. Sygnał jest rejestrowany z częstotliwością 100Hz. Napisz program, który będzie wykrywał uderzenia serca na podstawie pochodnej napięcia mierzonego na elektrodzie a następnie wyznaczy średnią wartość uderzeń na minutę.