~~NOCACHE~~
~~REVEAL theme=simple&size=1024x800~~

====== Lab. 13 Równania różniczkowe - zagadnienie początkowe ======

===== Równania różniczkowe ====

Przykład:

$$\frac{dy}{dx} = 3 xy $$
$$x^2 y'' + axy' + y = 0$$

Równanie różniczkowe zwyczajne - jedna zmienna niezależna\\
Rząd równania - rząd najwyższej pochodnej \\

Szukamy funkcji $y(x)$ \\ 
Rozwiązanie numeryczne: wartość funkcji $y(x_i)$ w węzłach $x_i$

===== Zagadnienie początkowe ===== 

Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego 
$$ \frac{dy}{dx} = f(x, y)$$
warunek początkowy
$$ y(x_0) = y_0 $$

===== Metoda Eulera ===== 

Wartości funkcji $y(x_i)$ w kolejnych punktach $x_i$ ze stałym krokiem $h = x_{i+1} -x_{i}$

$$ y_{i+1} = y_{i} + h \cdot f(x_i, y_i) $$

{{  zajecia:mn1_2021_2:euler2.png?500  | }}

===== Błędy =====

**Błąd lokalny** (pojedynczego kroku) - proporcjonalny do $h^2$

$$ E_a = \frac{f'(x_i,y_i)\cdot h^2}{2!}$$

**Błąd globalny** - akumuluje błędy z wszystkich kroków, można pokazać, że jest proporcjonalny do $h$ \\

Im mniejszy krok tym lepsza dokładność metody ale dla bardzo małych $h$ zaczynają dominować błędy zaokrągleń

===== Przykład =====

Rozwiążmy problem początkowy 
$$\frac{dy}{dt} = y, \qquad y(0)=1 $$

Rozwiązanie analityczne jest postaci $y = e^t$

===== =====

<file C euler.c>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f(double t, double y)
{
   return y;
}

int main()
{
   double h=0.1, y, t;
   int i;
   
   t=0.0; y = 1.0;
   printf("t        Euler    Exact\n");
   for (i=0; i<= 10; i++)
   {
      printf("%lf %lf %lf\n", t, y, exp(t));
      y=y+h*f(t, y);
      t=t+h;
   }
   return 0;
}
</file>
===== Zmodyfikowane metody Eulera  ===== 

Metoda **midpoint**
$$ y_{i+1} = y_i + h\cdot f\left(x_i + \frac{1}{2}h, \, y_i + \frac{1}{2} h f(x_i, y_i)\right)$$

Metoda **Heuna**

$$ y_{i+1} = y_i + h\cdot \left( \frac{1}{2} f(x_i, y_i) + \frac{1}{2} f\left(x_i + h, y_i + h f(x_i, y_i)\right) \right)$$

Metoda **Ralstona**

$$ y_{i+1} = y_i + h\cdot \left( \frac{1}{3} f(x_i, y_i) + \frac{2}{3} f\left(x_i + \frac{3}{4} h, y_i + \frac{3}{4}h f(x_i, y_i)\right) \right)$$


===== Zadanie =====

Napisz program, który rozwiąże równanie różniczkowe 
$$\frac{dy}{dx} = y - \frac{2x}{y}$$ 
z warunkiem początkowym $y(0) = 1$. \\
Zaimplementuj rozwiązanie z użyciem 3 metod: Heuna , midpoint i Ralstona. \\
Dla podanej przez użytkownika liczby zastosowanych przedziałów program wypisuje wartości 
funkcji $y(x)$ wyznaczonych w równoodległych węzłach na odcinku $ x \in [0, 2]$. 
Dla każdego węzła wyznacz i wypisz błąd bezwzględny oraz błąd względny metody, wiedząc że 
dokładne rozwiązanie jest postaci $$y_d = \sqrt{2x+1}$$.

===== Dodatkowe ćwiczenia =====

**Ćw. 1**