~~NOCACHE~~
~~REVEAL theme=simple&size=1024x800~~

====== Lab. 14 Równania różniczkowe c.d. ======

  * Metody Rungego-Kutty
  * układy równań różniczkowych
  * równania różniczkowe wyższego rzędu

===== Zagadnienie początkowe ===== 

Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego 
$$ \frac{dy}{dx} = f(x, y)$$
warunek początkowy
$$ y(x_0) = y_0 $$

Szukamy funkcji $y(x)$.

 Rozwiązanie numeryczne: wartości funkcji $y(x_i)$ w węzłach $x_i$

===== Metody Rungego-Kutty ===== 

Ogólna postać
$$y_{n+1}=y_{n}+\sum_{i=1}^{s} w_{i} k_{i}$$
$$\begin{array}{l}
k_{1}=h f\left(x_{n}, y_{n}\right) \\
k_{i}=h f\left(x_{n}+a_{i} h, y_{n}+\sum_{j=1}^{i-1} b_{i j} k_{j}\right), \qquad i>1 \\
\end{array}$$
gdzie $ w_{i}, a_{i}, b_{ij}$  stałe 

===== ===== 

{{  zajecia:mn1_2021_2:metody_rk.png?800  | }}

===== =====

  * Metoda Eulera, pierwszego rzędu, błąd obcięcia  $O(h)$ 
  * Metoda Heuna, midpoint, Ralstona, drugiego rzędu, błąd obcięcia $O(h^2)$
  * Metada  Rungego-Kutty 4 rzędu, błąd obcięcia $O(h^4)$, najlepszy stosunek między dokładnością a liczbą obliczeń

{{  zajecia:mn1_2021_2:metoda_rk_slope.png?500  | }}

===== Układy równań różniczkowych ===== 

Szukamy $y_{i}=y_{i}(x), \quad i=1,2, \ldots, m$

spełniających 

$$\left\{\begin{array}{l}
\frac{\mathrm{d} y_{1}}{\mathrm{~d} x}=f_{1}\left(x, y_{1}, \ldots y_{m}\right) \\
\frac{\mathrm{d} y_{2}}{\mathrm{~d} x}=f_{2}\left(x, y_{1}, \ldots y_{m}\right) \\
\ldots
\\
\frac{\mathrm{d} y_{m}}{\mathrm{~d} x}=f_{m}\left(x, y_{1}, \ldots, y_{m}\right)
\end{array}\right.$$

z warunkiem początkowym 

$$y_{i}\left(x_{0}\right)=y_{i, 0}, \qquad i=1,2, \ldots, m$$

===== ===== 

Rozwiązanie układu równań różniczkowych za pomocą metod R-K 
  - wyznaczamy $k_1$ dla wszystkich $m$ równań
  - wyznaczamy $k_2$ dla wszystkich $m$ równań
  - ...
  - mając wszystkie $k_i$ wyznaczamy przybliżenie $y_i$ dla każdego z równań

===== Przykład: model epidemii =====

Model SIR (S - susceptible, I - infected, R - recovered)

$$\begin{aligned}
\frac{dS}{dt} & = -\alpha \cdot S(t) \cdot I(t) \\
\frac{dR}{dt} & =  I(t) \big/ T \\
\frac{dI}{dt} & = \alpha \cdot S(t) \cdot I(t) - I(t) \big/T \\
\end{aligned}$$

  * $\alpha$ prawd. zarażenia przy spotkaniu dwóch osobników
  * $T$ średni czas zdrowienia
  * równania spełniaja warunek stałej liczebności $\frac{dS}{dt} + \frac{dI}{dt} + \frac{dR}{dt} = 0$

===== =====

Załóżmy, że $\alpha=0.0002, \, T=12$ dni \\

Przyjmijmy warunki początkowe $ I(0) = 1, \, R(0)=0, \, S(0)=999$. \\

Użyjmy metody Heuna 
$$\begin{array}{c}
y_{i+1}=y_{i}+\left(\frac{1}{2} k_{1}+\frac{1}{2} k_{2}\right) h \\
k_{1}=f\left(x_{i}, y_{i}\right) \\
k_{2}=f\left(x_{i}+h, y_{i}+k_{1} h\right)
\end{array}$$

do wyznaczenia $I$ oraz $S$ w czasie 
$$\begin{aligned}
\frac{dS}{dt} & = f_S(t, S, I)\\
\frac{dI}{dt} & = f_I(t, S, I)\\
\end{aligned}$$

===== =====

$$\begin{aligned}
k_{S1} & = f_S(t_i, S_i, I_i) \\
k_{I1} & = f_I(t_i, S_i, I_i) \\
k_{I2} & = f_I(t_i + h, S_i + k_{S1}h, I_i + k_{I1}h) \\
k_{S2} & = f_S(t_i + h, S_i + k_{S1}h, I_i + k_{I1}h) \\
S_{i+1} & =S_{i} + \left(\frac{1}{2} k_{S1}+\frac{1}{2} k_{S2}\right) h \\
I_{i+1} & =I_{i} + \left(\frac{1}{2} k_{I1}+\frac{1}{2} k_{I2}\right) h \\
\end{aligned}$$


===== Przykład w C =====


<file C sir.c>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

double a = 0.0002;
double T = 12;

double f_s(double t, double s, double i)
{
   return - a*s*i;
}

double f_i(double t, double s, double i)
{
   return  a*s*i - i/T;
}

int main()
{
   double h=0.05, t0=0.0, tk=200, t;
   double n = 1000;    /* populacja */
   double i0 = 1;      /* jeden zainfekowany */ 
   double s0 = n - i0; /* liczba podatnych */ 
   double i = i0, s = s0;
   double k_s1, k_s2, k_i1, k_i2;
   
   printf("# t      S         I       R\n");
   for (t=t0; t<= tk; t=t+h)
   {
      printf("%6.2f  %6.1f  %6.1f  %6.1f\n", t, s, i, n-s-i);
      
      k_s1 = f_s(t, s, i);
      k_i1 = f_i(t, s, i);
      
      k_s2 = f_s(t+h, s + k_s1 * h, i + k_i1 * h);
      k_i2 = f_i(t+h, s + k_s1 * h, i + k_i1 * h);
      
      s = s + 0.5 * (k_s1 + k_s2 ) * h;
      i = i + 0.5 * (k_i1 + k_i2 ) * h;      
   }

   return 0;
}
</file>

===== Równania wyższych rzędów ===== 

Równanie różniczkowe rzędu $n$ 

$$y^{(n)}=f\left(x, y, y^{\prime}, \ldots, y^{(n-1)}\right)$$

można zamienić na układ $n$ równań pierwszego rzędu podstawiając

$$\begin{array}{lllll}
y_{0}=y & y_{1}=y^{\prime} & y_{2}=y^{\prime \prime} & \ldots & y_{n-1}=y^{(n-1)}
\end{array}$$

otrzymujemy 

$$y_{0}^{\prime}=y_{1} \\ y_{1}^{\prime}=y_{2} \\ \ldots \\  y_{n}^{\prime}=f\left(x, y_{0}, y_{1}, \ldots, y_{n-1}\right)$$

===== Zadanie 12 =====

Treść zadania znajduje się w Moodle pod adresem [[https://moodle.umk.pl/WFAIIS/mod/assign/view.php?id=4951|Zadanie 12]]

===== Metody Rungego-Kutty rzędu IV  =====

$$\begin{array}{l}
y_{i+1}=y_{i}+\frac{1}{6}\left(K_{1}+2 K_{2}+2 K_{3}+K_{4}\right) h \\
K_{1}=f\left(x_{i}, y_{i}\right) \\
K_{2}=f\left(x_{i}+\frac{1}{2} h, y_{i}+\frac{1}{2} K_{1} h\right) \\
K_{3}=f\left(x_{i}+\frac{1}{2} h, y_{i}+\frac{1}{2} K_{2} h\right) \\
K_{4}=f\left(x_{i}+h, y_{i}+K_{3} h\right)
\end{array}$$

===== Dodatkowe ćwiczenia =====

**Ćw. 1**