~~NOCACHE~~
~~REVEAL theme=simple&size=1024x800~~

====== Lab. 6 Całkowanie numeryczne ======
===== Całka oznaczona ====

$$I=\int_{a}^{b} f(x) d x$$

pole powierzchni pod funkcją na odcinku $[a,b]$

{{ zajecia:mn1_2021_2:integration1.png?400  |}}

===== Metody =====

  * kwadratura - przybliżenie całkowanej funkcji za pomocą $Q(f)=\sum_{i=0}^{n} A_{i} f\left(x_{i}\right)$
  * kwadratury Newtona-Cotesa, o stałych odległościach węzłów
  * kwadratury Gaussa
  * całkowanie Monte Carlo

===== Reguła prostokątów =====

$$\int_{a}^{b} f(x) dx \approx (b-a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)$$

{{ zajecia:mn1_2021_2:midpoint_rule.png?400  |}}

===== Reguła trapezów =====

$$\int_{a}^{b} f(x) d x \approx(b-a)\left(\frac{f(a)+f(b)}{2}\right)$$

{{ zajecia:mn1_2021_2:trapez_rule.png?400  |}}

===== Reguła parabol (Simpsona) =====

$$\int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a)+4 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]$$

{{ zajecia:mn1_2021_2:parabol_rule.png?400  |}}

===== Złożone kwadratury =====

Dzielimy przedział $[a,b]$ na $n$ odcinków z krokiem $h = \frac{b-a}{n}$


{{  zajecia:mn1_2021_2:composit_rule.png?400  |}}

$$ x_0 =a, \qquad x_i = a + ih, \qquad x_n = b$$ 


wartość całki będzie sumą kwadratur prostych z każdego odcinka $[x_i, x_{i+1}]$

===== =====

  * złożona reguła **prostokątów** (midpoint)  \\   $$I =  h \sum_{i=0}^{n-1} f\left(\frac{x_i + x_{i+1}}{2}\right) \qquad \text{błąd} \quad  \frac{b-a}{24} h^{2} f^{(2)}(\xi)$$
  * złożona reguła **trapezów**  \\ $$I = h \left(\frac{f(x_0)+ f(x_n)}{2}+\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) \right) \qquad \text{błąd} \quad \frac{b-a}{12} h^{2} f^{(2)}(\xi)$$
  * złożona reguła **Simpsona** \\ $$I = \frac{h}{3} \sum_{j=1}^{n / 2}\left ( f(x_{2 j-2})+4 f(x_{2 j-1})+f(x_{2 j})\right) \qquad \text{błąd} \quad \frac{b-a}{180} h^{4} f^{(4)}(\xi)$$


===== Przykład =====

$$\int_{0}^{2} f(x) d x$$

Dla kwadratur prostych ($n=1$)

{{  zajecia:mn1_2021_2:int_results.png?600  |}}

===== =====

<file C midpoint.c>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f1(double x)
{
   return x * x; 
}

double midpoint_rule(double a, double b, int n, double (*func)(double))
{
   double s, fa, fb, x, h;
   int j;

   h = (b-a)/((double) n);
   s=0.0;

   for (j=0; j < n; j++)
   {
      x = a + (j+0.5) * h;
      s += (*func)(x);
   }
   s *= h;

   return s;
} 

int main()
{
   int n;
   double a=0.0, b=2.0;
   
   printf("Number of partitions = ");
   scanf("%d", &n) ;
   
   printf("f1  = %lf\n", midpoint_rule(a, b, n, f1)) ;
   
   return 0;
}
</file>

=====  Zadanie 6 =====

Treść zadania znajduje się w Moodle pod adresem [[https://moodle.umk.pl/WFAIIS/mod/assign/view.php?id=4706|Zadanie 6]]

===== Dodatkowe ćwiczenia =====

**Ćw. 1**

Wyznacz całki z [[zajecia:mn1_2021_2:06_integrate#przyklad|przykładu]] z zajęć za pomocą metody złożonej trapezów oraz Simpsona i porównaj dokładność tych metod. 

**Ćw. 2**

Napisz program wyznaczający przybliżoną wartość całki $\int_0^{2.5} f(x) dx$ funkcji o wartościach zawartych w tabeli 

^ $x_i$ ^ $f(x_i)$ ^
|  0     | 1.5 |
| 0.5    | 2.0 |
| 1.0    | 2.0  |
| 1.5    | 1.6  |
| 2.0    | 1.25 |
| 2.5    | 0.95 |