====== QPC - Quality of Projected Clusters ( Projection Pursuit Index) ======

===== Najlepsza projekcja na prostą =====
Maksymalizujemy wartość indeksu\\
<latex>
QPC(\vec{w}) =  \sum_{i,j=1}^n \alpha_{ij}{ G\left(\vec{w}^T(\vec{x}_i-\vec{x}_j)\right)}
</latex> 
\\
gdzie:\\
<latex>$\alpha_{ij}</latex> jest stałą spełniającą warunek: jezeli <latex>C(\vec{x}_i) = C(\vec{x}_j)</latex> wówczas <latex>\alpha_{ij} > 0 </latex> oraz jeżeli <latex> C(\vec{x}_i) \ne C(\vec{x}_j) </latex> wówczas <latex> \alpha_{ij} < 0 </latex>\\
<latex>C(\vec{x}_i)</latex> zbór wektorów z taką samą etykietą jak wektor <latex>\vec{x}_i</latex>\\
<latex>G(x)</latex> funkcja lokalna posiadająca maksimum dla x=0\\
Przykłady funkcji G(x):\\
^ trójkątna | <latex>
   G(x)= \left\{ 
   \begin{array}{lll}
      0             & \quad \textrm{dla} & \quad x < -b \\ 
      \frac{x+b}{b} & \quad \textrm{dla} & \quad -b \le x < 0 \\
      \frac{b-x}{b} & \quad \textrm{dla} & \quad 0 \le x < b  \\
      0             & \quad \textrm{dla} & \quad x \ge b \\
   \end{array}
   \right.    
</latex> |
^ fx4 | <latex>  G(x)=\frac{1}{1+(bx)^4} </latex> |
^ bicentralna | <latex> G(x)=\sigma(x+b)(1-\sigma(x-b)) </latex> |

Przyjmując wartości:\\
<latex>A^+ = \frac{1}{\#C_i}</latex> oraz <latex>A^- = \frac{1}{(N - \#C_i)}</latex> \\
czynniki symy będą warzone względem liczebności wektorów w klasach. 
Maksymalną wartość indeks osiąga gdy wszystkie wektory są pogrupowane w oddzielne, oddalone od siebie klastry. \\




==== Przykłady projekcji ====
  * [[.:qpc_ort:ppi_bicentral|Spadek gradnientu - funkcja bicentralna - dane UCI]]
  * [[.:qpc_ort:qpc_toy_fx4|Spadek gradnientu - funkcja fx4 - dane sztuczne]]
  * {{http://www.fizyka.umk.pl/~grochu/results/ppi/index.html|Poprzednie wyniki (data)}}

===== Poszukiwanie kolejnego kierunku - czynnik kary =====

Maksymalizujemy wartość indeksu\\
<latex>
I_{\vec{w_1}}(X;\vec{w})= I(X;\vec{w}) - \lambda f_{\vec{w_1}} 
</latex> \\
gdzie funkcja f(x) wprowadza zaburzenie zależne od kierunku w<sub>1</sub> znalezionego gdy λ=0. \\
Wymagamy aby szukany kierunek różnił sie od poprzedniego\\
<latex>
f_{\vec{w_1}} = ({\vec{w_1}}^T\vec{w})^4
</latex>


==== Przykłady projekcji ====

  * [[.:qpc_ort:ppi_ort_bicentral|Spadek gradientu - funkcja bicentralna - dane UCI]] 
  * [[.:qpc_ort:ppi_orto_toy_fx4|Spadek gradientu - funkcja fx4 - sztuczne dane]] 
  * [[projects:data:grid8x8:grid8x8|Grid Model data (sztuczne)]] ([[http://kdobosz.wikidot.com/gridmodel-data|opis danych]])


===== Optymalizacja dwóch projekcji jednocześnie =====

Maksymalizujemy wartość indeksu\\
<latex>
I_s(X;\vec{w},\vec{u})= I_{\vec{u}}(X;\vec{w}) + I_{\vec{w}}(X;\vec{u})
</latex> \\
poszukując dwuch projekcji x i u.




====  Wykresy - dwa kierunki - Scatterplots ====
 
  * [[.:qpc_w2_fx4|Spadek gradientu - funkcja fx4 - dane UCI]] 
  * [[.:qpc_2w_toy_fx4|Spadek gradientu - funkcja fx4 - sztuczne dane]]


===== Poszukiwanie kolejnego kierunku - ortogonalizacja danych =====

  * [[.:qpc_ort:qpc_toy_fx4|Sonar - projekcje 1-10]]

=====  QPC + Naive Bayes =====

  * [[projects:models:qpc_and_naivebayes:sonar_dim1-10_cv|QPC+NB CV on Sonar]]


===== Szybkie QPC z prototypami =====

  * [[projects:models:qpc:qpctrain_simple|FastQPC - Wizualizacje - dane UCI]]