WYK£AD 15

3.3 Spójnośæ świat³a

 

 

z powrotem do spisu treści...

 

Klasyczny opis rzeczywistych Ÿróde³ świat³a

Rozwa¿ając interferencjê fal elektromagnetycznych emitowanych przez dwa Ÿród³a punktowe S1 i S2 (rys. 38) przyjêliśmy, ¿e fale te opisane są nastêpującymi wyra¿eniami:

,

skąd wynika, ¿e ró¿nica faz pomiêdzy obu falami w dowolnym punkcie P jest sta³a i zale¿y wy³ącznie od ró¿nicy dróg optycznych d = (r1-r2)/l . Średnia w czasie wartośæ natê¿enia wypadkowej fali wynosi wówczas:

i, poniewa¿ ró¿nica faz 2p d jest sta³a w czasie (choæ zale¿na od po³o¿enia punktu P), przestrzenny rozk³ad wypadkowego natê¿enia jest tak¿e niezmienny w czasie. Na odpowiednio umieszczonym ekranie zaobserwujemy prą¿ki interferencyjne, a wielkośæ:

,

którą mo¿emy wyznaczyæ doświadczalnie, nazwiemy widzialnością, kontrastem lub stopniem spójności (Imax, Imin są natê¿eniami odpowiednio w prą¿ku jasnym i ciemnym). W rozwa¿anym przypadku wielkośæ ta przyjmie wartośæ:

,

a o Ÿród³ach S1 i S2 powiemy, ¿e są ze sobą ca³kowicie spójne. Emitowane przez oba Ÿród³a fale są ze sobą dok³adnie skorelowane a obszar spójności, tzn obszar, w którym, po wstawieniu ekranu mo¿na obserwowaæ prą¿ki z maksymalnym kontrastem G , jest nieograniczony.

Niestety, w rzeczywistości nigdy tak nie jest i wią¿e to siê w sposób podstawowy z charakterem rzeczywistych Ÿróde³ świat³a opartych na emisji spontanicznej (znacznie lepiej mo¿e byæ w przypadku laserów; wynika to stąd, ¿e są to Ÿród³a świat³a oparte na emisji wymuszonej, a nie spontanicznej). Rzeczywiste Ÿród³a świat³a sk³adają siê bowiem z ogromnej liczby nieskorelowanych ze sobą elementarnych emiterów (wzbudzonych atomów lub cząsteczek). Klasycznie emitery te (wzbudzone atomy) mo¿emy opisaæ jako t³umione oscylatory harmoniczne, rozpoczynające emisjê w ró¿nej dla ka¿dego atomu, przypadkowej chwili czasu tj. Za³ó¿my, ¿e obserwujemy pewne Ÿród³o świat³a w dostatecznie d³ugim czasie T, w którym wzbudzone zostanie N atomów. Wypadkowa fala elektromagnetyczna, emitowana przez zbiór takich oscylatorów (czyli Ÿród³o świat³a) bêdzie, dla 0 < t < T, opisana wyra¿eniem:

,

z tym, ¿e poszczególne sk³adniki sumy są ró¿ne od zera tylko dla tj < t < T. Jak widzimy, nawet pierwszy cz³on nie ca³kiem dok³adnie odpowiada nieograniczonej w czasie funkcji cosinus, ze wzglêdu na wystêpowanie dodatkowego czynnika ze sta³ą g (nie g /2, po podniesieniu do kwadratu bêdziemy mieli g ), opisującego t³umienie oscylatora (odwrotnośæ sta³ej g bêdzie równa czasowi ¿ycia wzbudzonego atomu). To jest komplikacja, ale to nie by³by jeszcze taki wielki problem (szkoda, ¿e nie mamy wiêcej czasu, moglibyśmy go, z pomocą analizy Fouriera, dok³adnie rozwiązaæ), prawdziwy problem wynika natomiast z istnienia drugiego cz³ona. Ten drugi cz³on jest pewną liczbą zespoloną, której amplituda i faza zmieniaæ siê bêdą chaotycznie w funkcji czasu t. Wynika to z w³ączania siê, w miarê up³ywu czasu, kolejnych oscylatorów. Oczywiście wk³ad tych “wcześniejszych” oscylatorów bêdzie, ze wzglêdu na t³umienie, coraz mniej istotny tak, ¿e co prawda ca³kowite natê¿enie bêdzie w miarê sta³e, ale oczekiwaæ mo¿emy pewnych “skoków” wartości fazy i amplitudy. Tak wiêc, w miarê up³ywu czasu początkowa du¿a korelacja pomiêdzy “początkowymi” i “aktualnymi” wartościami amplitudy, ale przede wszystkim fazy wypadkowej fali, bêdzie mala³a i nawet jedno Ÿród³o świat³a przestaje byæ, w miarê up³ywu czasu, spójne ze sobą samym (taki rodzaj spójności, zale¿ny od czasu, nazywamy spójnością czasową lub pod³u¿ną; zale¿y ona od monochromatyczności emitowanego świat³a). Oznacza to tak¿e, ze dwa ró¿ne Ÿród³a świat³a oparte na emisji spontanicznej nie mogą byæ w ogóle spójne ze sobą; wyjątek stanowiæ mogą tylko wtórne Ÿród³a świat³a, które wzbudzane są przez to samo Ÿród³o pierwotne (np otwory lub szczeliny w ekranie oświetlonym przez to samo Ÿród³o S, to nie jest przypadek, ¿e tylko tak mo¿na zaobserwowaæ interferencjê). Z drugiej strony nale¿y podkreśliæ, ¿e dla ka¿dych dwóch Ÿróde³ prą¿ki interferencyjne tak naprawdê to wystąpią; problem w tym, ¿e bêdą siê one bardzo szybko zmieniaæ w czasie, przesuwaæ itd, nie dając stabilnego obrazu interferencyjnego.

Nale¿a³oby zatem przyjąæ, w naszych rozwa¿aniach nad interferencją fal ze Ÿróde³ S1 i S2, ¿e Ÿród³a te są w rzeczywistości Ÿród³ami wtórnymi i ¿e emitowane przez nie fale nie muszą byæ ze sobą a¿ tak dok³adnie skorelowane. Aby jakoś uwzglêdniæ opisane wy¿ej efekty mo¿emy przyjąæ, ¿e ró¿nica faz, oprócz sta³ego wyrazu zale¿nego od ró¿nicy dróg optycznych, zawieraæ bêdzie tak¿e inny, zmienny w czasie wyraz. Wielkośæ G mo¿e wówczas przyjąæ ka¿dą z wartości zawartych pomiêdzy 0 i 1, a w szczególnym przypadku, gdy G = 0 i prą¿ki interferencyjne w ogóle nie wystąpią, powiemy, ¿e obie fale są ze sobą nieskorelowane, a Ÿród³a ca³kowicie niespójne. Warto sobie uświadomiæ, ¿e w takim przypadku natê¿enie wypadkowe w ka¿dym punkcie ekranu jest po prostu sumą natê¿eñ z obu Ÿróde³.

Z naszej dotychczasowej dyskusji wynika, ¿e pojêcie spójności mo¿na odnieśæ nie tylko do Ÿróde³ świat³a, które dzia³ając jednocześnie wnoszą swoje wk³ady do ca³kowitego pola promieniowania. (Mo¿emy w tym sensie mówiæ o spójnych, niespójnych, lub czêściowo spójnych Ÿród³ach świat³a.) Poniewa¿ jednak dwa ró¿ne Ÿród³a świat³a nie mogą byæ spójne ze sobą, pojêcie to w³aściwie ma sens tylko dla wtórnych Ÿróde³ świat³a wzbudzanych tym samym Ÿród³em pierwotnym, albo, innymi s³owy, mo¿emy mówiæ o korelacji faz i amplitud pomiêdzy polami w dwóch ró¿nych punktach przestrzeni wytwarzanymi przez jedno i to samo Ÿród³o pierwotne. Mo¿emy po prostu przyjąæ, ¿e stopieñ spójności pomiêdzy dwoma Ÿród³ami wtórnymi, którymi są dwa ma³e otworki w ekranie, jest tak¿e stopniem spójności pomiêdzy dwoma odpowiadającymi im punktami w polu promieniowania Ÿród³a pierwotnego i jest, wobec tego, cechą charakteryzującą to pole.

Wiemy zatem jak doświadczalnie scharakteryzowaæ spójnośæ pola promieniowania dowolnego Ÿród³a! To proste, choæ mo¿e pracoch³onne; wystarczy zmierzyæ wielkośæ G dla ka¿dej pary punktów w tym polu...

Spójnośæ w polu promieniowania Ÿród³a rozciąg³ego - twierdzenie van Citterta-Zernikego

Interesujący i wa¿ny praktycznie jest problem spójności w polu promieniowania pochodzącego od rozciąg³ego Ÿród³a sk³adającego siê z wielkiej liczby ca³kowicie ze sobą niespójnych Ÿróde³ elementarnych. (Ciekawe, czy w takich warunkach mo¿na w ogóle mówiæ o jakiejkolwiek spójności?). Rozpatrzymy zatem interferencjê Fraunhofera na dwóch otworkach umieszczonych w ekranie (uk³ad wspó³rzêdnych xy) oświetlonym przez rozciąg³e Ÿród³o umieszczone w uk³adzie wspó³rzêdnych OXY. Prą¿ki interferencyjne obserwowaæ bêdziemy na ekranie obserwacyjnym, z tym, ¿e punkt obserwacji P umieszczamy na osi x równoleg³ej do prostej, na której umieszczone są dwa otworki (rys. 59) (spodziewamy siê przecie¿ prą¿ków prostopad³ych do tej osi). Punkt P0 le¿y na normalnej do ekranu z otworkami, która przechodzi przez punkt O i jeden z otworków, Pr. Otworek Pr traktowaæ bêdziemy jako referencyjny; bêdziemy badaæ strukturê interferencyjną (widzialnośæ prą¿ków) dla zmieniającej siê odleg³ości s. W ten sposób spróbujemy zbadaæ spójnośæ pomiêdzy dwoma punktami w polu promieniowania Ÿród³a rozciąg³ego w funkcji ich wzajemnej odleg³ości. Zak³adamy, ¿e odleg³ości w uk³adzie (tzn L) są wystarczająco du¿e, ¿eby mo¿na by³o stosowaæ podejście Fraunhofera.

 

 

Rys. 59. Rozciąg³e Ÿród³o świat³a oświetlające ekran z dwoma identycznymi otworkami. Oś x jest równoleg³a do linii, na której le¿ą otworki

 

 

WeŸmy pod uwagê element powierzchni Ÿród³a ds o wspó³rzêdnych X, Y. Poniewa¿ L jest bardzo du¿e mo¿emy przyjąæ, ¿e:

.

Natê¿enie świat³a emitowanego przez element Ÿród³a ds w punkcie Pr wyniesie:

,

gdzie wspó³czynnik proporcjonalności, N(q ,f ), jest mocą emitowaną przez element Ÿród³a ds z jednostki powierzchni Ÿród³a i w jednostkowy kąt bry³owy. Natê¿enie świat³a w punkcie P, od elementu ds i od obu otworów, Pr i P wyniesie:

,

gdzie drugi wyraz jest czynnikiem interferencyjnym dla dwóch otworów, czynnikiem, który uwzglêdnia ró¿nicê faz pochodzących od tych otworów fal. W eksponencie sinusy zosta³y zastąpione kątami; ca³e zaś wyra¿enie jest analogiczne do tego, które wyprowadziliśmy przedtem dla N otworów, a tak¿e, jako specjalny przypadek, dla dwóch otworów.

Zak³adamy dalej, ¿e fale emitowane przez ró¿ne elementy Ÿród³a są ze sobą ca³kowicie niespójne. Zatem nie ma potrzeby uwzglêdniania dodatkowej ró¿nicy faz, wystarczy sumowaæ natê¿enia:

.

Poniewa¿ pierwsza ca³ka po prawe stronie jest ca³kowitym natê¿eniem świat³a wysy³anego przez ca³e Ÿród³o w punkcie Pr, wyra¿enie na I(P) mo¿na zapisaæ w postaci:

,

gdzie

i .

Zapisując g (x,y) jako:

,

otrzymamy ostatecznie:

,

wyra¿enie, które dla G = 1 i b = 0 przechodzi w wyra¿enie I(P) = 2 I(Pr) (1 + cos 2p d ). Identyczny wzór otrzymaliśmy przy za³o¿eniu pe³nej spójności pomiêdzy Ÿród³ami S1 i S2. Z kolei dla G = 0 mamy I(P) = 2 I(Pr), wyra¿enie charakteryzujące natê¿enie wypadkowej fali z dwóch Ÿróde³ przy ca³kowitym braku spójności. Dla G > 0 otrzymamy zatem prą¿ki jasne i ciemne, przy czym odleg³ośæ pomiêdzy kolejnymi prą¿kami jasnymi bêdzie wynosi³a:

,

tak jak poprzednio i tak jak zawsze dla doświadczenia Younga. Z postaci wzoru na I(P) wynika tak¿e, ¿e modu³ zespolonej wielkości g (x,y), tzn G , bêdzie równy widzialności prą¿ków czyli stopniowi spójności:

.

Wielkośæ g (x,y) bêdziemy za Zernikem nazywali zespolonym stopniem spójności. Gdyby w praktyce by³o mo¿liwe wyznaczenie po³o¿enia punktu P0 to przesuniêcie zerowego prą¿ka wzglêdem tego punktu (o ile mo¿na rozpoznaæ, który z nich to prą¿ek zerowy) pozwoli³oby tak¿e wyznaczyæ wielkośæ b czyli fazê, co pozwoli³oby na wyznaczenie wielkości zespolonej g (x,y) choæ, z drugiej strony, nie bardzo w tej chwili wiemy, jaki sens fizyczny mo¿e mieæ ta faza tzn kąt b . Wydaje siê na razie, ¿e wszystko czego mo¿emy potrzebowaæ to wielkośæ G ; wystarcza ona w zupe³ności do scharakteryzowania spójności pola promieniowania pochodzącego od badanego Ÿród³a rozciąg³ego.

Zbadajmy dok³adniej wyra¿enie na g (x,y), które otrzymaliśmy wy¿ej:

.

Korzystając z nastêpujących związków:

,

gdzie q ‘ i f ‘ są kątami ustalającymi po³o¿enie drugiego otworu w punkcie (x,y) wzglêdem początku uk³adu wspó³rzêdnych OXY, mo¿emy dokonaæ zamiany zmiennych; od (x,y;q ,f ) do (q ‘,f ‘;X,Y). Nie bêdzie problemu z funkcją N(q ,f ), mo¿emy przejśæ do zmiennych X, Y przez podstawienie N(q ,f ) = N(X/L,Y/L) = N’(X,Y), powy¿sze relacje pozwalają tak¿e na zamianê zmiennych w eksponencie. Ostatnia sprawa, to dq df = dXdY/L2. Podstawiając wszystko co potrzeba otrzymamy:

.

Dla przypomnienia, niedawno wyprowadziliśmy wyra¿enie na czynnik dyfrakcyjny dla otworu o kszta³cie opisanym funkcją T(x,y):

,

gdzie po³o¿enie punktu P mo¿emy opisaæ albo przy pomocy zmiennych X2, Y2 albo q 2, f 2 (X2/L = sinq 2, Y2/L = sinf 2). Porównując oba wyra¿enia widzimy, ¿e są one bardzo podobne. Mamy zatem sposób na obliczenie stopnia spójności w punkcie (x,y) w polu promieniowania pochodzącego od rozciąg³ego Ÿród³a świat³a. W obliczeniach tych nale¿y za³o¿yæ, ¿e interesujące nas Ÿród³o świat³a zosta³o zastąpione przez ekran z otworem o kszta³cie tego Ÿród³a. Ekran ten jest oświetlony przez (hipotetyczne) punktowe Ÿród³o świat³a umieszczone w kierunku q 1 = f 1 = 0 (czyli na osi optycznej) w odpowiednio du¿ej od tego ekranu odleg³ości. Interesujący nas punkt (x,y) powinien oczywiście znaleŸæ siê na ekranie obserwacyjnym umieszczonym prostopadle do osi optycznej. Wartośæ zespolonego czynnika dyfrakcyjnego w punkcie (x,y) odpowiadająca opisanej wy¿ej hipotetycznej sytuacji bêdzie równa zespolonemu stopniowi spójności pomiêdzy punktem (x,y) i punktem odniesienia Pr (le¿ącym na osi optycznej) w polu promieniowania wytworzonym przez interesujące nas Ÿród³o rozciąg³e. Równośæ stopnia spójności i amplitudy hipotetycznego fraunhoferowskiego obrazu dyfrakcyjnego jest treścią tzw twierdzenia van Citterta-Zernikego, które w³aśnie udowodniliśmy.

Twierdzenie van Citterta-Zernikego daje nam po¿yteczne narzêdzie do rozwiązywania ró¿nych problemów związanych z interferencją i dyfrakcją, jak trochê pobie¿nie, ale jednak poka¿emy za chwilê, kiedy rozwa¿ymy dwa ró¿ne przyk³adowe zagadnienia; problem spójnego i niespójnego oświetlenia powierzchni przez Ÿród³a rozciąg³e i interferometr gwiazdowy Michelsona.

Spójne i niespójne oświetlenie p³aszczyzny przez rozciąg³e Ÿród³o świat³a

Na rys. 60 pokazano dwa sposoby oświetlenia powierzchni S . W czêści a) rozciąg³e Ÿród³o oświetla ekran S poprzez uk³ad sk³adający siê z otworka w ekranie umieszczonym w p³aszczyŸnie ogniskowej soczewki. Dla obserwatora na powierzchni S efektywne Ÿród³o znajduje siê w nieskoñczoności, a jego wymiar kątowy a jest równy a/f, gdzie a jest średnicą otworka a f ogniskową soczewki. Poniewa¿ pierwsze minimum dla dyfrakcji na otworze kątowym odpowiada wartości 1.22l /a , wymiar obszaru spójności s0 wyniesie:

.

Dla a = 0.1 mm i f = 10 cm, f/a = 103 i s0 @ 103l » 0.5 mm. Wartośæ ta wydaje siê intuicyjnie dośæ niewielka; wydawaæ by siê mog³o, na pierwszy rzut oka, ¿e poniewa¿ ka¿dy punkt Ÿród³a jest rzutowany na ca³ą niemal oświetloną czêśæ p³aszczyzny o średnicy soczewki i ¿e czêśæ wspólna ró¿nych rzutów jest bardzo du¿a, wymiar obszaru spójności powinien byæ niemal równy średnicy soczewki. Rozumowanie to jest jednak b³êdne (czy wiecie, gdzie jest b³ąd?), widaæ, ¿e warto mieæ bardziej dok³adną metodê analizy; dostarcza jej w³aśnie twierdzenie van Citterta-Zernikego. Oczywiście, bardzo ³atwo “poprawiæ” nasz wynik; nie wysililiśmy siê na razie zbyt mocno. Mo¿na ³atwo zmniejszyæ otworek, a tak¿e dobraæ soczewkê o d³u¿szej ogniskowej i uzyskaæ s0 rzêdu 104l . W drugim przypadku, b), prosta analiza sugeruje zerowy stopieñ spójności, z optyki geometrycznej wynika bowiem, ¿e ka¿dy punkt Ÿród³a jest obrazowany na jeden tylko punkt ekranu, a tymczasem ró¿ne punkty Ÿród³a są ze sobą niespójne (czyli ka¿de dwa punkty na ekranie są niespójne). Tak zupe³nie Ÿle jednak nie jest ze wzglêdu na dyfrakcjê. Z punktu widzenia obserwatora na powierzchni S Ÿród³em świat³a jest soczewka; co prawda zastêpujący ją (w analizie van Citterta-Zernikego) otwór bêdzie du¿y i blisko le¿ący, ale jednak wystąpi ugiêcie świat³a, które powinno dawaæ pewien, chocia¿ bardzo niewielki obszar odpowiadający krą¿kowi Airy’ego. Spodziewamy siê zatem, ¿e obszar spójności bêdzie rzêdu 1.22l /a , co przy a oko³o 10-20° (co daje z grubsza po³owê radiana) daje na s0 wartośæ zaledwie 2-3l (ma³o, ale jednak nie zero).

 

 

Rys. 60. Dwa sposoby oświetlenia powierzchni; a) wysoki stopieñ spójności, b) niski stopieñ spójności punktów na powierzchni S pomimo przybli¿onej równości kątów q .

 

 

 

 

Interferometr gwiazdowy Michelsona - pomiar średnicy kątowej gwiazd

Innego bardzo interesującego przyk³adu zastosowania twierdzenia van Citterta-Zernikego dostarcza interferometr gwiazdowy, skonstruowany przez Michelsona, amerykañskiego fizyka polskiego pochodzenia. Interferometr gwiazdowy to jedna z kilku odmian interferometru Michelsona, jednego ze s³awniejszych i szeroko u¿ywanych przyrządów optycznych (inna jego wersja s³u¿y miêdzy innymi do pomiarów tzw spójności pod³u¿nej, o której wspomnieliśmy kiedyś na marginesie; ta spójnośæ, którą omawialiśmy i omawiamy to tzw spójnośæ poprzeczna).

Interferometr gwiazdowy Michelsona umo¿liwia pomiar spójności pomiêdzy punktami w polu promieniowania, odleg³ymi nawet o 15 m (Mt. Wilson Laboratory). Jest to mo¿liwe dziêki zastosowaniu czterech zwierciade³, z których dwa (nr 2 i 3 na rys. 61) są nieruchome, a dwa pozosta³e (nr 1 i 4) mogą byæ rozsuwane na odleg³ośæ d nie ograniczoną wymiarami soczewki. W doświadczeniu obserwuje siê strukturê interferencyjną charakterystyczną dla doświadczenia Younga oraz widzialnośæ prą¿ków w funkcji odleg³ości d pomiêdzy zwierciad³ami 1 i 4 w celu znalezienia takiej odleg³ości d0, dla której prą¿ki przestają byæ widzialne. Zwróæmy uwagê, ¿e odleg³ośæ pomiêdzy prą¿kami na ekranie jest określona przez znacznie mniejszą i sta³ą odleg³ośæ d’; dziêki czemu odleg³ośæ miêdzy prą¿kami jest znacznie wiêksza i sta³a. Umo¿liwia to wyznaczenie prawdziwej wartości d0 bez ryzyka, ¿e prą¿ki przestaną byæ rozró¿nialne (zleją siê), a nie, ¿e przestaną byæ widzialne.

 

 

Rys. 61. Interferometr gwiezdny Michelsona. Zastosowanie czterech zwierciade³ umo¿liwia osiągniêcie bardzo du¿ych odleg³ości pomiêdzy otworami, a wiêc badanie bardzo du¿ych obszarów spójności charakteryzujących odleg³e świecące obiekty o skrajnie ma³ych rozmiarach kątowych (gwiazdy).

 

 

 

Prą¿ki znikną, gdy stopieñ spójności pomiêdzy punktami wyznaczonymi przez środki dwóch zewnêtrznych zwierciade³ bêdzie równy zero. Z twierdzenia van Citterta-Zernikego wynika, ¿e nastąpi to wtedy, gdy odleg³ośæ d bêdzie równa odleg³ości pomiêdzy maksimum i pierwszym zerem rozk³adu Fraunhofera dla otworu, którym zastêpujemy gwiazdê. Odleg³ośæ ta wyniesie:

,

gdzie D jest średnicą gwiazdy, L odleg³ością do gwiazdy, a a jej średnicą kątową. W ten sposób mo¿na wyznaczyæ średnicê kątową gwiazdy, a tak¿e, o ile znamy odleg³ośæ L, jej rzeczywistą średnicê D. Pierwszy taki pomiar wykona³ wspó³pracownik Michelsona, Pease, dla gwiazdy imieniem Betelgeuza (to pewnie jedna z tych o wiêkszej średnicy a ). Prą¿ki zniknê³y dla d0 = 306.5 cm pomimo, ¿e by³y one ciągle dobrze widoczne dla innych gwiazd. Średnicê Betelgeuzy wyliczono na 4.1x108km, wiêcej, ni¿ orbita Ziemi (3x108km). Wa¿niejszy od tego wyniku jest jednak sposób, w jaki fizycy (mo¿e powinniśmy powiedzieæ astronomowie?) do niego doszli. Chcia³bym, ¿ebyście to sobie jeszcze raz uświadomili. ZnaleŸli oni teoriê, która powiada, ¿e stosunek d³ugości fali świat³a emitowanego przez gwiazdê do jej średnicy powinien byæ równy (z dok³adnością do czynnika 1.22!!!) stosunkowi pewnej zmierzonej na Ziemi odleg³ości miêdzy dwoma lustrami do odleg³ości do tej gwiazdy. (Lepiej ju¿ nie wspomnê, jak zmierzono odleg³ośæ do tej gwiazdy...) Pomyślcie, jak du¿a jest ta średnica, czy odleg³ośæ do gwiazdy, a jak ma³a jest d³ugośæ fali świat³a. Czy¿ to nie jest zdumiewające, ¿e coś takiego w ogóle dzia³a?

 

KONIEC

 

z powrotem do spisu treści...