,WYK£AD 11
2.4 Polaryzacja
Monochromatyczne fale p³askie w ośrodku jednorodnym i anizotropowym
Nasz przegląd w³asności optycznych ró¿nych ośrodków, choæ świadomie dośæ pobie¿ny, by³by jednak bardzo niekompletny gdybyśmy pominêli ca³kowicie ośrodki anizotropowe. Wobec tego na zakoñczenie rozpatrzymy przypadek ośrodka jednorodnego, niemagnetycznego, nieprzewodzącego, daleko od rezonansu i anizotropowego. Przypomnijmy, ¿e w ośrodku izotropowym mamy D = e e 0E, gdzie przenikalnośæ elektryczna e jest skalarem. W ośrodku anizotropowym Di = e ije 0Ej, e jest tensorem, wspó³czynnik za³amania nz bêdzie tak¿e wielkością anizotropową i, w konsekwencji, opis fal rozchodzących siê w ośrodku znacznie siê skomplikuje. W uk³adzie osi g³ównych:
,
gdzie e
x, e
y, e
z to g³ówne sta³e dielektryczne, a 
to g³ówne wspó³czynniki za³amania. W ośrodku jednoosiowym dwa z tych wspó³czynników są sobie równe. Przyjmijmy zatem, ¿e:
(o od ordinary czyli zwyczajny)
(e od extraordinary czyli nadzwyczajny).
Kierunek z jest zatem kierunkiem wyró¿nionym, bêdziemy go nazywaæ kierunkiem osi optycznej danego ośrodka.
Napiszmy równania Maxwella:
,
po podstawieniu D = D0 exp[i(kr-w t)], E = E0 exp[i(kr-w t)], H = H0 exp[i(kr-w t)], i wykonaniu ró¿niczkowania otrzymamy:
skąd, mno¿ąc wektorowo przez k drugie z równañ i wykorzystując do prawej strony równanie czwarte mamy dalej:
,
gdzie k0 tak jak poprzednio jest wektorem falowym w pró¿ni a k w danym ośrodku materialnym. Po stosowanej ju¿ poprzednio przeróbce strony lewej otrzymamy:
.
Dla ośrodka izotropowego mielibyśmy D0 = e e 0E0, a zatem k× E0 = 0, pierwszy wyraz by³by równy zeru i mielibyśmy:
skąd:
,
tak jak nale¿a³o oczekiwaæ.
W przypadku ośrodka anizotropowego uproszczenie powy¿sze nie jest mo¿liwe i musimy rozwiązywaæ pe³ne równanie z obu wyrazami powsta³ymi z podwójnego iloczynu wektorowego z k i E0. Poniewa¿ kierunki x i y są w ośrodku jednoosiowym równowa¿ne mo¿emy przyjąæ, ¿e wektor falowy k le¿y w p³aszczy¼nie x,z, tzn ¿e sk³adowa ky = 0.
Mamy wówczas:
.
Równania te potraktujemy jako równania na sk³adowe wektora E0. Wykorzystując g³ówne wspó³czynniki za³amania otrzymamy nastêpujący uk³ad równañ algebraicznych:
który moglibyśmy formalnie rozwiązywaæ, tzn policzyæ wyznacznik, przyrównaæ go do zera i szukaæ rozwiązañ poprzez określenie warunków jakie powinien spe³niaæ wektor falowy k itd. Spróbujemy jednak innego, bardziej fizycznego podejścia; bêdziemy siê starali rozwiązania po prostu odgadnąæ. Jeśli w drugim równaniu za³o¿ymy, ¿e wspó³czynnik przy E0y jest zerem, to otrzymamy:
,
niezale¿nie od kierunku wektora k, który to wektor wyznaczy nasze pierwsze rozwiązanie. Sk³adowa y wektora E jest w takim razie dowolna (choæ lepiej ¿eby by³a ró¿na od zera, ¿eby mieæ rozwiązanie nietrywialne), a sk³adowe z i x powinny byæ równe zero aby powy¿szy uk³ad równañ na te sk³adowe by³ spe³niony:
.
Zauwa¿my, ¿e rozwiązanie to przypomina rozwiązanie w ośrodku izotropowym (bêdziemy je zatem nazywaæ zwyczajnym); mianowicie niezale¿nie od kierunku rozchodzenia siê fali wektor falowy k = k0no, gdzie no to zwyczajny wspó³czynnik za³amania. Ró¿nica jednak jest; wektor E0 jest zawsze prostopad³y do osi optycznej i do wektora k, natomiast wektory E0 i D0 bêdą wspó³liniowe. Rozwiązanie zwyczajne ma jednak swoje cechy charakterystyczne przejawiające siê w polaryzacji. Co do drugiego rozwiązania, jeśli ma byæ ono inne od pierwszego to musimy mieæ:
,
a wiêc spe³nienie drugiego równania wymaga, by Eoy = 0. Pozostają nam dwa równania na sk³adowe x i z pola E:
które tym razem rozwią¿emy formalnie. Wyznacznik powy¿szego uk³adu równañ po przyrównaniu do zera da nastêpujące równanie:
,
które po przemno¿eniu, uproszczeniu, podzieleniu przez k02no2ne2 da:
.
Wektor falowy charakteryzujący drugie rozwiązanie, oznaczony k, bêdzie zatem le¿a³ na elipsie, której osie g³ówne bêdą mia³y d³ugości nok0 i nek0 (a w³aściwie to na elipsoidzie, utworzonej przez obrót elispy wyznaczonej przez n0k0 i nek0 wokó³ osi optycznej czyli osi z). Oznacza to, ¿e d³ugośæ tego wektora (określona przez efektywny wspó³czynnik za³amania w danym kierunku), bêdzie zale¿a³a od jego kierunku, albo inaczej, od kąta, który wektor falowy tworzy z osią optyczną uk³adu. Rozwiązanie to bêdziemy nazywaæ rozwiązaniem nadzwyczajnym.
Natomiast stosunek sk³adowych z i x pola E, po wykorzystaniu równania na k bêdzie:
,
co oznacza, ¿e gdyby no = ne (czyli gdyby ośrodek by³ izotropowy) to wektor E by³by prostopad³y do wektora k (co oznacza, ¿e dla no ¹ ne wektor E nie jest prostopad³y do wektora k). Tak wiêc tak¿e dla tego rozwiązania mamy polaryzacjê liniową, gdy¿ wektor E le¿y w p³aszczy¼nie wyznaczonej przez wektor k i oś optyczną uk³adu, chocia¿ wektor E nie jest prostopad³y do k (ale wektor D jest).
Na rysunku 33 przedstawiamy powierzchnie wektora falowego dla obu dozwolonych rozwiązañ, zwyczajnego i nadzwyczajnego dla przypadku ośrodka jednoosiowego ujemnego (tzn no > ne).
Rozwiązanie zwyczajne, oznaczone jako k le¿y na powierzchni kuli o promieniu nok0. D³ugośæ wektora k nie zale¿y od jego kierunku, tak jak w ośrodku izotropowym. Fala elektromagnetyczna, odpowiadająca temu rozwiązaniu jest spolaryzowana; wektory E i D są wspó³liniowe i prostopad³e do wektora k i osi optycznej (czyli do p³aszczyzny rysunku).
Rys. 33. Powierzchnie wektora falowego dla ośrodka jednoosiowego ujemnego
Koniec wektora k, przedstawiającego drugie z rozwiązañ, nadzwyczajne, le¿y na elipsoidzie o osiach g³ównych o d³ugościach nek0 (dwie krótsze osie g³ówne le¿ące w p³aszczy¼nie xy) i nok0, oś elipsoidy le¿ąca na osi optycznej ośrodka). Fala elektromagnetyczna odpowiadająca temu drugiemu rozwiązaniu jest tak¿e spolaryzowana liniowo; oba wektory E i D le¿ą w p³aszczy¼nie wyznaczonej przez wektor k i oś optyczną. Jednak¿e tylko wektor D jest prostopad³y do wektora k, wektor E jest natomiast styczny do powierzchni elipsoidy w punkcie wyznaczonym przez koniec wektora k, zatem jest on prostopad³y do k (i wspó³liniowy z D) tylko wtedy, gdy le¿y on w p³aszczy¼nie xy lub na osi optycznej. Ten drugi przypadek to przypadek trywialny; oba rozwiązania degenerują siê do jednego, gdy¿ kula i elipsoida stykają siê i mamy jedno rozwiązanie a nie dwa. Pierwszy przypadek omówimy dok³adniej za chwilê.
Rys. 34. P³ytka falowa. Ze wzglêdu na istnienie dwóch rozwiązañ, promieñ świat³a mo¿e przejśæ warstwê materia³u dwój³omnego o grubości d z prêdkością c/no lub c/ne zale¿nie od polaryzacji.
P³ytki falowe
P³ytki falowe to chyba najwa¿niejsze z zastosowañ ośrodków jednoosiowych wykorzystujące istnienie ró¿nicy wspó³czynników za³amania ne i no. P³ytkê falową wycina siê z materia³u jednoosiowego w taki sposób, ¿eby oś optyczna le¿a³a w p³aszczy¼nie, na którą pada wiązka świat³a, tak jak pokazano na rys. 34 (oś optyczna ośrodka to oś z). Wektor falowy świat³a padającego k0 jest wówczas do tej p³aszczyzny prostopad³y. Dozwolone rozwiązania dla świat³a rozchodzącego siê w kierunku osi x (a zarazem k0) w p³ytce bêdą nastêpujące:
dla rozwiązania zwyczajnego i:
dla rozwiązania nadzwyczajnego, gdzie początek uk³adu (x = 0) le¿y na powierzchni wejściowej p³ytki falowej. Oczywiście wartości amplitud E0y i E0z bêdą zale¿a³y od polaryzacji świat³a padającego; zak³adając, ¿e nie ma odbicia (co nie jest prawdą) mielibyśmy po prostu równośæ pomiêdzy amplitudami świat³a padającego i za³amanego, uwzglêdnienie odbicia wymaga³oby zmniejszenia obu sk³adowych ale w przybli¿eniu z zachowaniem ich proporcji (ma³e ró¿nice w natê¿eniu świat³a odbitego dla obu sk³adowych wynikają z ró¿nicy wspó³czynników za³amania no i ne). W szczególności, jeśli świat³o padające na p³ytkê jest spolaryzowane liniowo w kierunku osi optycznej (czyli osi z), jedynym mo¿liwym rozwiązaniem bêdzie rozwiązanie nadzwyczajne, natomiast w przypadku polaryzacji prostopad³ej do osi optycznej (czyli w kierunku y) dozwolone rozwiązanie to rozwiązanie zwyczajne.
Najbardziej interesująca sytuacja powstanie jednak wtedy, gdy polaryzacja świat³a padającego na p³ytkê falową jest taka, ¿e reprezentowane są, w taki czy inny sposób, obie sk³adowe. Rozpatrzmy przypadek, w którym świat³o padające jest spolaryzowane liniowo w kierunku tworzącym kąt 45° z osią optyczną z, a tak¿e z osią y. Jeśli b i c oznaczają wektory jednostkowe w kierunku y i z to dla świat³a padającego na p³ytkê bêdziemy mieli:
,
a po przejściu p³ytki
,
gdzie D = (ne - no)k0d jest ró¿nicą faz wynikającą z ró¿nicy wspó³czynników za³amania ne i no. Dla ośrodka jednoosiowego dodatniego D jest dodatnie, oś optyczna ośrodka jest osią wolną a prostopad³y do niej kierunek y bêdzie kierunkiem osi szybkiej p³ytki falowej. Natomiast wartośæ ró¿nicy faz D zale¿y od grubości p³ytki d; zatem mo¿emy tak dobraæ d by D = p /2 (otrzymamy wtedy p³ytkê æwieræfalową) lub by D = p (by otrzymaæ p³ytkê pó³falową). W pierwszym, bardziej interesującym przypadku amplituda fali wychodzącej z æwieræfalówki bêdzie:
,
mamy zatem zespoloną amplitudê i spodziewamy siê, wobec tego, polaryzacji eliptycznej. Jednak, poniewa¿ b i c są wektorami jednostkowymi czyli o tej samej d³ugości (równej jeden), polaryzacja świat³a wychodzącego z æwieræfalówki bêdzie ostatecznie polaryzacją ko³ową.
P³ytka æwieræfalowa odpowiednio zorientowana wzglêdem kierunku polaryzacji liniowej padającego na nią świat³a zmieni zatem stan polaryzacji tego świat³a z liniowej na ko³ową. Dzia³anie æwieræfalówki sprowadza siê zatem do wprowadzenia ró¿nicy faz o wartości p /2 pomiêdzy sk³adowymi świat³a spolaryzowanymi liniowo w kierunku osi optycznej i prostopadle niej. O ile sk³adowe y i z padającego świat³a nie są równe (jest tak tylko wtedy, gdy kierunek polaryzacji świat³a padającego tworzy kąt 45 ° z osią æwieræfalówki) to otrzymamy polaryzacjê eliptyczną. Z drugiej strony, jeśli polaryzacja świat³a padającego by³a np eliptyczna to wstawienie odpowiednio zorientowanej æwieræfalówki (tak by jej oś pokrywa³a siê z jedną z osi g³ównych elipsy polaryzacji świat³a padającego) da na wyjściu świat³o o polaryzacji liniowej itd.
Wektor Jonesa i rachunek Jonesa
Jak wykazaliśmy wy¿ej, dzia³anie æwieræfalówki na sk³adowe pola E fali elektromagnetycznej mo¿na przedstawiæ w postaci macierzy:
,
tzw macierzy Jonesa p³ytki æwieræfalowej. Z kolei sk³adowe pola E padającej na æwieræfalówkê fali elektromagnetycznej mo¿emy zapisaæ w postaci jednokolumnowego wektora, tzw wektora Jonesa:
.
Dla przyk³adu, wektor Jonesa przyjmie nastêpującą postaæ:
dla świat³a spolaryzowanego liniowo w kierunku z, liniowo w kierunku osi y, liniowo w kierunku tworzącym kąt 45° z osiami y i z, a w koñcu ko³owo prawo - i lewoskrêtnie.
Formalizm, w którym elementom uk³adu optycznego przypisujemy macierze 2x2, a przechodzące świat³o opisujemy przy pomocy jednokolumnowego wektora o dwóch sk³adowych, nazywamy rachunkiem Jonesa. Rachunku Jonesa nie mo¿na stosowaæ dla świat³a niespolaryzowanego lub spolaryzowanego czêściowo; wią¿e to siê z wymogiem, by ró¿nica faz pomiêdzy sk³adowymi y i z, wchodząca w sk³ad wektora Jonesa, by³a dobrze określona i sta³a w czasie dla ka¿dego punktu przestrzeni zajmowanej przez rozpatrywany uk³ad optyczny. Niespolaryzowanym świat³em bêdziemy nazywaæ takie świat³o, w którym ró¿nica faz dla dwóch ortogonalnych liniowo spolaryzowanych sk³adowych jest przypadkowa i zmienia siê w czasie w sposób ca³kowicie chaotyczny, a średnia w czasie wartośæ amplitudy tych sk³adowych jest sobie równa (gdyby nie by³a równa, świat³o by³oby czêściowo spolaryzowane; moglibyśmy bowiem roz³o¿yæ je na dwie sk³adowe, jedną niespolaryzowaną, a drugą spolaryzowaną liniowo).