2.3 Zespolony wspó³czynnik za³amania

z powrotem do spisu tre¶ci...

Zespolony wspó³czynnik za³amania a parametry makro- i mikroskopowe o¶rodka materialnego

Przypomnijmy, ¿e zespolony wspó³czynnik za³amania wyra¿a siê w nastêpuj±cy sposób przez sta³e materia³owe e , m i s :

.

Na pocz±tek rozpatrzymy o¶rodek niemagnetyczny (m = 1) i nieprzewodz±cy (s = 0). W pustej przestrzeni (pró¿ni) wspó³czynnik za³amania by³by równy 1, zatem obecno¶æ zwi±zanych ³adunków dodatnich i ujemnych musi byæ kluczow± spraw± jak chodzi o w³asno¶ci optyczne jakiegokolwiek o¶rodka materialnego, którego wspó³czynnik za³amania jest na ogó³ wyra¼nie ró¿ny od 1. Mamy oczywi¶cie:

,

zatem przenikalno¶æ elektryczna albo inaczej sta³a dielektryczna danego materia³u determinuje jego zespolony wspó³czynnik za³amania. Sta³a ta jest zdefiniowana poprzez nastêpuj±ce relacje:

,

gdzie c _e to wprowadzona ju¿ przez nas poprzednio podatno¶æ elektryczna danego materia³u, parametr o charakterze makroskopowym (czyli w pewien sposób u¶redniony po objêto¶ci; objêto¶æ ta powinna byæ du¿a w porównaniu do rozmiarów atomu, cz±steczki czy komórki elementarnej kryszta³u) a tak¿e empirycznym. Z równania tego mamy:

.

Chcemy wyraziæ parametry makroskopowe przy pomocy parametrów mikroskopowych, czyli charakterystycznych dla atomu/cz±steczki. Pamiêtamy, ¿e polaryzacja P pochodzi od elementarnych momentów dipolowych qd przypisanych pojedynczym atomom/cz±steczkom tworz±cym dany o¶rodek:

,

gdzie N jest ilo¶ci± atomów lub cz±steczek danego o¶rodka w jednostce objêto¶ci. Je¶li przyjmiemy, ¿e wyindukowany przez pole elektryczne elementarny moment dipolowy jest proporcjonalny do tego pola, a sta³± proporcjonalno¶ci oznaczymy a (i nazwiemy polaryzowalno¶ci± atomow±) to mo¿emy zapisaæ:

,

a zatem

czyli

.

gdzie osi±gnêli¶my nasz cel, tzn makroskopowy parametr c _e (wi±¼±cy polaryzacjê P z polem elektrycznym E) wyrazili¶my przez mikroskopowy (charakterystyczny dla atomów) parametr a .

Poniewa¿ mamy ostatecznie:

i dalszy postêp w naszych rozwa¿aniach nad zespolonym wspó³czynnikiem za³amania dielektryka (bez pr±dów i ³adunków) bêdzie zale¿a³ od tego, czy potrafimy powiedzieæ co¶ bardziej szczegó³owego na temat polaryzowalno¶ci atomowej a . Jest rzecz± oczywist±, ¿e aby tego dokonaæ (tzn powiedzieæ, jak atom polaryzuje siê reaguj±c na zewnêtrzne pole elektryczne) musimy wiedzieæ wiêcej o samych atomach. Potrzebny nam jest model atomu.

Polaryzowalno¶æ atomowa - prosty model Lorentza atomu/cz±steczki

W modelu Lorentza przyjmujemy, ¿e wskutek dzia³ania pola zewnêtrznego E nastêpuje rozsuniêcie ¶rodka ciê¿ko¶ci ³adunków dodatnich (q) i ujemnych (-q) w zrównowa¿onym atomie na odleg³o¶æ d . Powoduje to pojawienie siê si³y reakcji w postaci -kd , a tak¿e dopuszczamy si³ê oporu proporcjonaln± do prêdko¶ci poruszaj±cego siê ³adunku (poniewa¿ masa dodatnio na³adowanej czê¶ci atomu jest znacznie wiêksza, spodziewamy siê, ¿e zredukowana masa uk³adu, przesuniêcie i prêdko¶æ s± g³ównie zwi±zane z ujemnie na³adowanymi elektronami). Równanie ruchu dla elektronu w atomie bêdzie zatem:

gdzie q jest ³adunkiem elektronu, m jego mas±, a g wspó³czynnikiem oporu (t³umienia). Równanie to przedstawia równanie ruchu oscylatora harmonicznego wymuszonego (si³a zewnêtrzna eE) i t³umionego, dlatego mo¿emy powiedzieæ, ¿e model Lorentza jest modelem, w którym atomy, czyli tworz±ce je zwi±zane ³adunki dodatnie i ujemne (elektrony) reprezentujemy przy pomocy oscylatorów harmonicznych. Dla oscylatora harmonicznego swobodnego i niet³umionego mieliby¶my:

,

,

sk±d

.

Poniewa¿ qd = a e ₀E zatem:

.

Tak jak mo¿na by³o oczekiwaæ (mamy przecie¿ jakie¶ intuicje podpowiadaj±ce nam, jak powinien dzia³aæ taki uk³ad fizyczny), jest tutaj zale¿no¶æ od czêsto¶ci typu rezonansowego (nasz uk³ad ma przecie¿ czêsto¶æ w³asn±), z amplitud± drgañ w rezonansie i szeroko¶ci± samego rezonansu okre¶lonymi przez sta³± t³umienia g . Jeste¶my tak¿e bardzo blisko celu, warto mo¿e przypomnieæ sobie, co ju¿ zrobili¶my. Najpierw wyrazili¶my zespolony wspó³czynnik za³amania n_z poprzez makroskopow± sta³± materia³ow± (przenikalno¶æ elektryczn± o¶rodka e , lub jego podatno¶æ elektryczn± c _e) potem wyrazili¶my tê sta³± poprzez parametr mikroskopowy a (polaryzowalno¶æ atomow±), w koñcu za¶, dziêki modelowi Lorentza atomu, wyrazili¶my parametr a poprzez inne sta³e fizyczne i parametry atomowe: ³adunek elektronu (elektronów) q, masê m, przenikalno¶æ elektryczn± pró¿ni e ₀, czêsto¶æ w³asn± atomu w ₀ i sta³± t³umienia g . Te ostatnie parametry mog± byæ ³atwo wyznaczone eksperymentalnie. Sytuacja taka czêsto zdarza siê w praktyce, teorie tego typu, w których niektóre parametry wyznacza siê eksperymentalnie nazywa siê teoriami pó³empirycznymi.

W³asno¶ci optyczne dielektryków

Wracamy do wspó³czynnika za³amania. Poniewa¿ w rozpatrywanym przez nas przypadku (o¶rodek niemagnetyczny, bez pr±dów i ³adunków czyli tzw dielektryk) n_z² = e = 1 + Na , mo¿emy, wykorzystuj±c przybli¿enie: (1-x)^1/2 @ 1 - x/2 otrzymaæ:

,

zatem rzeczywista czê¶æ (wspó³czynnik za³amania n) i urojona (wspó³czynnik ekstynkcji k ) zespolonego wspó³czynnika za³amania bêd± reprezentowane przez nastêpuj±ce wyra¿enia:

,

.

Dla czêsto¶ci w le¿±cych w pobli¿u czêsto¶ci rezonansowej w ₀ mo¿emy wykorzystaæ nastêpuj±ce przybli¼enia: w ² - w ₀² = 2w ₀(w - w ₀), a tak¿e w ² @ w ₀² (z tym ostatnim to ostro¿nie, mogliby¶my niechc±cy straciæ ca³± zale¿no¶æ od czêsto¶ci, czego oczywi¶cie nie chcemy). Z przybli¿eniami tymi otrzymamy:

.

Na rysunku 31 przedstawiamy obliczone zale¿no¶ci w postaci n - 1 i k dla nastêpuj±cych warto¶ci sta³ych: w ₀ = 20 000 cm^-1 (cm^-1 to jednostka czêsto¶ci czêsto stosowana przez spektroskopistów), Nq²4me _{0w 0}² = 0.1, g = 5 000 cm^-1. Warto zwróciæ uwagê, ¿e podczas gdy absorpcja bardzo szybko spada do zera gdy oddalamy siê od rezonansu, zmiany wspó³czynnika za³amania s± znacznie wolniejsze i zachodz± w szerokim obszarze spektralnym. Dlatego o¶rodki prze¼roczyste wykazuj± w³asno¶ci dyspersyjne (tzn wspó³czynnik za³amania jest ró¿ny od jeden i jego warto¶ci zale¿± od d³ugo¶ci fali padaj±cego ¶wiat³a).

Rys. 31. Zale¿no¶æ rzeczywistej i urojonej czê¶ci zespolonego wspó³czynnika za³amania dielektryka od czêsto¶ci ¶wiat³a na podstawie modelu Lorentza. Lini± ci±g³± przedstawiono czê¶æ urojon± (wspó³czynnik ekstynkcji k ) a przerywan± czê¶æ rzeczywist± (wspó³czynnik za³amania n), po odjêciu jedno¶ci. Warto¶ci parametrów podajemy powy¿ej w tek¶cie.

Poprawki do prostego modelu Lorentza

Rozwa¿ana przez nas wersja modelu Lorentza by³a wersj± najprostsz±, któr± mo¼na poprawiæ przez uwzglêdnienie szeregu dodatkowych czynników. Pierwszy z nich wi±¿e siê z tym, ¿e jeden atom mo¿e zawieraæ wiele elektronów, w ró¿ny sposób reaguj±cych na zewnêtrzne pole elektryczne (mo¿liwe ró¿ne d ). Wracaj±c do wzoru na polaryzcjê P uwzglêdnienie tego faktu prowadzi do:

.

Dodatkowo, gdyby o¶rodek zawiera³ ró¿ne atomy/cz±steczki to nale¿a³oby tak¿e uwzglêdniæ wk³ady do P od nich wszystkich, zatem mieliby¶my:

,

gdzie sumowanie po k obejmuje ró¿ne rodzaje atomów/cz±steczek a sumowanie po i przebiega po wszystkich elektronach danego rodzaju atomów (cz±steczek).

Za³o¿enie o proporcjonalno¶ci wyindukowanego przez pole elektryczne elementarnego momentu dipolowego prowadzi do:

,

a zatem

czyli .

gdzie owyrazili¶my podatno¶æ elektryczn± danego o¶rodka c _e (wi±¼±c± polaryzacjê P z polem elektrycznym E) przez polaryzowalno¶æ atomow± a _k,i (inaczej ni¿ w prostym modelu mamy teraz dla danego o¶rodka ca³y zbiór polaryzowalno¶ci dla ró¿nych elektronów i dla ró¿nych atomów danego o¶rodka, przy czym najwa¿niejsz± chyba konsekwencj± wprowadzenia ca³ego zbioru a _k,i jest istnienie ca³ego zbioru czêsto¶ci w³asnych w ₀ i sta³ych t³umienia g ).

Innym przyjêtym w prostym modelu upraszczeniem, które mo¿e niezbyt dobrze byæ spe³nione dla substancji gêstych; jest przyjêcie za³o¿enia, ¿e lokalne pole elektryczne E_lok dzia³aj±ce na pojedynczy atom jest równe polu zewnêtrznemu E. Tymczasem spodziewamy siê, ¿e pole lokalne powinno zawieraæ udzia³ od polaryzacji P; podkre¶lali¶my ju¿ wielokrotnie znaczenie polaryzacji w dielektrykach. Mo¿na pokazaæ (Feynman, tom II, czê¶æ I, rozdz. 11), ¿e pole lokalne w izotropowym materiale (tak¿e w krysztale regularnym) wyra¿a siê w nastêpuj±cy sposób poprzez pole zewnêtrzne i polaryzacjê:

.

W konsekwencji:

co oznacza, ¿e:

,

zatem:

.

Ostatnie równanie mo¼na napisaæ w nastêpuj±cej ca³kowicie równowa¿nej postaci:

,

która nosi nazwê równania Claussiusa - Mossotiego.

Poniewa¿ (dla nieprzewodz±cego dielektryka) mamy ostatecznie:

,

które to równanie powinno zast±piæ proste równanie, stosowane przez nas poprzednio. Warto jednak podkre¶liæ, ¿e nawet prosty model opisuje bardzo dobrze podstawowe cechy o¶rodków dielektrycznych zwi±zane z rozchodzeniem siê w nich fal elektromagnetycznych z obszaru widzialnego.

Podsumowuj±c, w o¶rodku izotropowym i jednorodnym wspó³czynnik za³amania jest rzeczywisty, gdy nie ma ³adunków swobodnych i czêsto¶æ fali elektromagnetycznej jest daleko od rezonansu. Rozchodz±ce siê w takim o¶rodku p³askie fale elektromagnetyczne s± scharakteryzowane rzeczywistym wektorem falowym k = k₀n, a amplitudy pól E₀ i H₀ s± prostopad³e do k i do siebie nawzajem, przy czym E₀ = B₀c/n.

W³asno¶ci optyczne o¶rodków przewodz±cych

Na pewno warto choæ trochê uwagi po¶wiêciæ o¶rodkom przewodz±cym, ze wzglêdu na rolê odgrywan± przez materia³y przewodz±ce we wspó³czesnej optoelektronice. W o¶rodku przewodz±cym przewodnictwo w³a¶ciwe s jest ró¿ne od zera i, w zwi±zku z tym wspó³czynnik za³amania:

.

Chcemy sprecyzowaæ bli¿ej przewodnictwo w³a¶ciwe s , podobnie jak to uczynili¶my wcze¶niej dla przenikalno¶ci elektrycznej e . Pamiêtamy, ¿e jest to wspó³czynnik proporcjonalno¶ci w równaniu materia³owym j = s E. Z drugiej strony j = nev, gdzie n jest koncentracj± elektronów swobodnych (uwaga, mamy teraz tê sam± literê n na dwie ró¿ne wielko¶ci), a prêdko¶æ unoszenia v (dla okre¶lonego pola elektrycznego E) wynika z nastêpuj±cego równania ruchu:

,

gdzie r to pewien wspó³czynnik zwi±zany z “oporem” wynikaj±cy ze strat energii doznawanych przez poruszaj±cy siê swobodny elektron (rozproszenia itd). Poniewa¿ pole E = E₀exp(-iw t) spodziewamy siê rozwi±zania postaci v = v₀exp(-iw t). Po podstawieniu i zro¿niczkowaniu otrzymamy:

,

sk±d mamy:

.

Poniewa¿ j = nev otrzymujemy:

,

zatem

.

Dla w = 0, s = s ₀ = ne² /r ; mo¿emy wiêc wyeliminowaæ niewygodn± sta³± r zastêpuj±c j± przewodnictwem w³a¶ciwym przy sta³ym polu elektrycznym:

.

Obliczmy wk³ad do zespolonego wspó³czynnika za³amania pochodz±cy od elektronów swobodnych:

,

gdzie . Warto zwróciæ uwagê na podobieñstwo pomiêdzy wk³adem do zespolonego wspó³czynnika za³amania od elektronów zwi±zanych i swobodnych, po uwzglêdnieniu obu cz³onów mamy bowiem:

.

To podobieñstwo nie jest tak bardzo zaskakuj±ce, ostatecznie bowiem ró¿nice pomiêdzy elektronami swobodnymi i zwi±zanymi (oprócz tej trywialnej, zawartej w koncentracjach N i n), wynikaj± po pierwsze z braku si³y przywracaj±cej równowagê w przypadku elektronów niezwi±zanych (k = 0, zatem w ₀ = 0), a po drugie z mechanizmu fizycznego t³umienia (sta³e g i G ₀), który bêdzie ró¿ny (szczegó³y w Feynmanie, on problem wyja¶nia bardziej szczegó³owo, chocia¿ nie wprowadza ró¿nych oznaczeñ). Dla metali, dla których mo¿na przyj±æ, ¿e wk³ad od elektronów swobodnych jest wa¿niejszy (n > >  N), tzn o ile pominiemy wk³ad pochodz±cy od elektronów zwi±zanych otrzymamy:

.

Dla du¿ych czêsto¶ci w mo¿emy pomin±æ wyraz urojony w mianowniku i

gdzie , to tzw czêsto¶æ plazmowa, zale¿na od koncentracji elektronów swobodnych.

Najbardziej ewidentne w³asno¶ci optyczne o¶rodków przewodz±cych (szczególnie metali) wi±¿± siê z silnym odbiciem ¶wiat³a w obszarze widzialnym; to w³a¶nie ten efekt nadaje metalom ich charakterystyczny “metaliczny” wygl±d. Natê¿enia wi±zki ¶wiat³a padaj±cego i odbitego podaj± tzw wzory Fresnela, które wyprowadzimy w ogólnym przypadku w nastêpnym wyk³adzie; teraz podamy bez dowodu (i wykorzystamy) postaæ tych wzorów dla szczególnego przypadku k±ta padania równego zero:

,

gdzie n₁ i n₂ to wspó³czynniki za³amania odpowiednich o¶rodków (¶wiat³o rozchodz±ce siê w o¶rodku 1 napotyka o¶rodek 2).

Obliczymy wspó³czynnik odbicia R dla metalu w powietrzu (n₁ = 1) wykorzystuj±c powy¿sze wzory:

.

Oznacza to, ¿e poni¿ej czêsto¶ci plazmowej w _p (która zwykle wypada w ultrafiolecie) metale bardzo dobrze odbijaj± ¶wiat³o, na ogó³ w ca³ym obszarze widzialnym. Poniewa¿ w pó³przewodnikach koncentracje no¶ników swobodnych no¶ników (no¶ników, no bo w pó³przewodnikach mog± wystêpowaæ zarówno ujemne elektrony jak i dodatnie dziury) s± przewa¿nie znacznie mniejsze, efekty te nie wystêpuj± w obszarze widzialnym lecz raczej w dalekiej podczerwieni. Dla niektórych z tych materia³ów podczerwieñ mo¿e byæ, wobec tego, “równowa¿na” promieniowaniu rtg dla metali. To t³umaczy popularno¶æ niektórych pó³przewodników z szerok± przerw± (np ZnSe) jako materia³ów o wysokiej transmisji dla promieniowania podczerwonego (okienka itd).

W miarê przesuwania siê w stronê ni¿szych czêsto¶ci coraz wiêksz± rolê gra cz³on z t³umieniem (iw G ₀); w koñcu cz³on ten dominuje ca³e wyra¿enie. W takim przybli¿eniu mamy:

,

a poniewa¿ n_z² = n² - k ² + i2nk , mo¿emy przyj±æ, ¿e

.

Ro¶nie wówczas (z malej±c± czêsto¶ci±) rzeczywista czê¶æ wspó³czynnika za³amania co powoduje spadek wspó³czynnika odbicia R. Transmisja jednak nie ro¶nie, wi±¿e to siê z bardzo silnym wzrostem absorpcji odpowiadaj±cej urojonej czê¶ci wspó³czynnika za³amania. ¦wiat³o, które nie zosta³o odbite i wniknê³o do o¶rodka, bêdzie w nim zaabsorbowane.

Wystêpowanie kolejno obszarów (w domenie czêsto¶ci) o wysokiej transmisji, odbiciu i absorpcji, to cechy charakterystyczne zwi±zane z wystêpowaniem no¶ników swobodnych w o¶rodku materialnym oddzia³uj±cym ze ¶wiat³em. W³a¶ciwie cechy takie wyst±pi± w ka¿dym o¶rodku oddzia³uj±cym z falami elektromagnetycznymi, w którym znajduj± siê no¶niki swobodne; mo¿na je np zaobserwowaæ dla fal radiowych i jonosfery (szczegó³y Feynman).

Na szczê¶cie dla optoelektroniki, koncentracja no¶ników swobodnych w pó³przewodnikach jest jednak znacznie mniejsza ni¿ w metalach (chocia¿ wystarczaj±ca z punktu widzenia po¿±danych w³asno¶ci elektrycznych) i w³asno¶ci optyczne pó³przewodników (tzn rozchodzenie siê ¶wiat³a) odpowiadaj± bardziej o¶rodkom typu “dielektryk” ni¿ “metal”. Stwierdzenie to jest tym bardziej prawdziwe im szersza jest przerwa energii wzbronionych pó³przewodnika, np krzem, który ma stosunkowo niedu¿± przerwê energii wzbronionych ma wygl±d bardzo “metaliczny”, ale przypadek materia³ów III-V czy II-VI jest ju¿, na nasze szczê¶cie, zupe³nie inny. Umo¿liwia to “po³±czenie” w jednym materiale dobrych w³asno¶ci optycznych i elektrycznych niezbêdne z punktu widzenia zastosowañ w optoelekronice.

Fizyczna interpretacja wspó³czynnika za³amania

Warto zauwa¿yæ, ¿e w dotychczasowej dyskusji wspó³czynnika za³amania pominêli¶my w³a¶ciwie problem fizycznego mechanizmu odpowiedzialnego za efekty powodowane przez wspó³czynnik za³amania. Chocia¿ wiemy ju¿ do¶æ dok³adnie jak rozchodzi siê ¶wiat³o o pewnej czêsto¶ci w pró¿ni, w dielektryku, a tak¿e w o¶rodku przewodz±cym i potrafimy podaæ odpowiedni opis matematyczny, to ci±gle tak naprawdê nie rozumiemy dlaczego, jaki jest fizyczny mechanizm np zmiany szybko¶ci rozchodzenia siê ¶wiat³a nawet w najprostszym o¶rodku materialnym. Postaramy siê zatem zrozumieæ w jaki w³a¶ciwie sposób izotropowy dielektryk powoduje efektywn± zmianê szybko¶ci rozchodz±cej siê w nim fali elektromagnetycznej.

Mogliby¶my oczywi¶cie przyj±æ, ¿e fakt zmiany szybko¶ci ¶wiat³a w o¶rodkach materialnych wynika z istnienia odpowiedniego prawa fizycznego (którego nie dowodzimy, a które przyjmujemy) ale okazuje siê, ¿e efekt taki (zmiany szybko¶ci ¶wiat³a w o¶rodkach materialnych) mo¿na wyt³umaczyæ przyjmuj±c inne, bardziej elementarne za³o¿enia fizyczne o falach elektromagnetycznych. Dok³adniejsz± dyskusjê tego problemu przedstawi³ Feynman, tom 1 czê¶æ 2, rozdzia³ 31, tutaj prezentujemy j± w du¿ym skrócie. Przyjmujemy, ¿e:

1. Pole promieniowania elektromagnetycznego pochodz±ce od pojedynczego ³adunku (¼ród³a promieniowania) w pewnym punkcie przestrzeni i w pewnej chwili czasu jest proporcjonalne do przyspieszenia tego ³adunku z opó¼nieniem odpowiadaj±cym prêdko¶ci c uwzglêdniaj±cym ró¿nicê po³o¿eñ i czasów (zatem fale elektromagnetyczne rozchodz± siê zawsze z tak± sam± prêdko¶ci± c)

2. Ca³kowite pole promieniowania w pewnym punkcie przestrzeni i w pewnej chwili czasu jest sum± pól pochodz±cych od wszystkich ³adunków (¼róde³) we wszech¶wiecie (na nasze szczê¶cie niektóre z nich s± znacznie wa¿niejsze ni¿ pozosta³e i wiêkszo¶æ z tych wszystkich ¿róde³ mo¿na bezpiecznie pomin±æ) z odpowiednimi opó¼nieniami uwzglêdniaj±cymi ró¿nice po³o¿eñ i czasów wyliczonymi przy za³o¿eniu, ¿e ¶wiat³o rozchodzi siê z prêdko¶ci± c. Jest to zasada superpozycji.

Zauwa¿cie, ¿e za³o¿enia te, szczególnie wtedy, gdy stwierdzaj±, ¿e ¶wiat³o zawsze rozchodzi siê z szybko¶ci± c wydaj± siê staæ w sprzeczno¶ci z naszymi poprzednimi wywodami, w których dowodzili¶my, ¿e w o¶rodkach materialnych fale elektromagnetyczne rozchodz± siê z szybko¶ciami ró¿nymi od c i zale¿nymi bardzo silnie od w³asno¶ci o¶rodka (jego wspó³czynnika za³amania). Oka¿e siê jednak, ¿e to tylko pozornie szybko¶æ ¶wiat³a w ró¿nych materia³ach jest inna od szybko¶ci c, ¿e jest to tylko pewien sposob opisu. W rzeczywisto¶ci bowiem mamy do czynienia nie z jedn± fal± przechodz±c± przez dany o¶rodek lecz z wieloma falami wtórnymi wywo³anymi przez drgania ³adunków w o¶rodku wzbudzone padaj±c± fal± pierwotn±. Superpozycja wszystkich fal, fali pierwotnej i wywo³anych przez ni± fal wtórnych, rozchodz±cych siê z szybko¶ci± c, daje siê przedstawiæ w postaci jednej fali o zmodyfikowanej szybko¶ci rozchodzenia siê, równej c/n.

Rys. 32. Fala pierwotna ze ¼ród³a S dociera do bardzo cienkiej prze¼roczystej warstwy dielektryka o grubo¶ci D z. Do punktu obserwacji P dociera, oprócz fali pierwotnej, tak¿e z³o¿ona fala wtórna wyemitowana przez wszystkie elektrony znajduj±ce siê w warstwie dielektryka wzbudzone przez padaj±c± falê pierwotn±.

Rozwa¿ymy najprostsz± sytuacjê przedstawion± na rys. 32 gdzie pomiêdzy ¼ród³em ¶wiat³a S i punktem obserwacji P znajduje siê bardzo cienka warstwa prze¼roczystego dielektryka o grubo¶ci D z. Zak³adaj±c, ¿e odleg³o¶æ pomiêdzy punktami S i P jest dostatecznie du¿a, mo¿emy przybli¿yæ falê wysy³an± przez ¼ród³o S (falê pierwotn±) przez falê p³ask±:

.

Wybieraj±c kierunek osi z wzd³u¿ prostej ³±cz±cej punkty S i P, a tak¿e przechodz±c do przybli¿enia skalarnego otrzymamy:

,

gdzie uwzglêdnili¶my tak¿e szybko¶æ rozchodzenia siê fali E_S, wynosz±c± c. Falê tak± zaobserwujemy w punkcie P tylko wtedy, gdy pomiêdzy punktami S i P nie bêdzie warstwy dielektryka. W obecno¶ci tej warstwy, dla czêsto¶ci daleko od rezonansu (rzeczywisty wspó³czynnik za³amania) spodziewamy siê, ¿e obserwowana fala bêdzie zmodyfikowana i ¿e bêdzie ona opisana nastêpuj±cym wyra¿eniem:

,

gdzie uwzglêdnili¶my zmianê szybko¶ci fali w warstwie dielektryka. Oczywi¶cie, uwzglêdnili¶my tak¿e, ¿e zmodyfikowana fala E_S^’ przebywa odcinek D z z szybko¶ci± c/n, a nie z szybko¶ci± c. Chcieliby¶my pokazaæ, ¿e zmodyfikowana fala da siê przedstawiæ w postaci sumy dwóch fal, fali E_S i pewnej innej fali, pochodz±cej od warstwy dielektryka. Po prostych przekszta³ceniach otrzymujemy:

gdzie uda³o nam siê przedstawiæ zmodyfikowan± falê w postaci iloczynu dwóch eksponent. Poniewa¿ D z jest bardzo ma³e wiêc exp(x) mo¿na przybli¿yæ przez 1 + x i ostatecznie mamy:

a zatem, zgodnie z naszymi oczekiwaniami, uda³o siê nam przedstawiæ zmodyfikowan± falê, docieraj±c± do punktu P, jako z³o¿enie dwóch fal, fali pierwotnej, wyemitowanej przez ¼ród³o S i pewnej fali wtórnej, zale¿nej od w³asno¶ci optycznych (czyli wspó³czynnika za³amania n) warstwy prze¼roczystego dielektryka i od fali pierwotnej (tak jak oczekiwaliby¶my dla fali wtórnej, wzbudzonej przez falê pierwotn±). Zwróæmy uwagê, ¿e obie te fale, pierwotna i wtórna, rozchodz± siê z szybko¶ci± c. Oczywi¶cie zmodyfikowana fala przebywa odcinek D z z szybko¶ci± c/n. Dla kompletno¶ci dowodu powinni¶my jeszcze pokazaæ, ¿e druga fala w wyra¿eniu na falê zmodyfikowan± jest rzeczywi¶cie fal± wtórn± wyemitowan± przez warstwê dielektryka o grubo¶ci D z, która zosta³a pobudzona fal± pierwotn± ze ¼ród³a S. Szczegó³owe rozwa¿ania przedstawione s± w Feynmanie, gdzie s³u¿± one dodatkowo jako sposób na otrzymanie wzoru na wspó³czynnik za³amania (z modelu Lorentza i poprzez obliczenie fali wtórnej od nieskoñczonej warstwy ³adunku). Poniewa¿ my wyprowadzili¶my ju¿ ten wzór korzystaj±c z równañ Maxwella (nasze wzory s± nawet lepsze bo ogólniejsze; nie ograniczali¶my siê w nich tylko do dielektryków), nasze zainteresowanie tym wyprowadzeniem jest raczej umiarkowane... Je¶li jednak kto¶ chcia³by je prze¶ledziæ w celach edukacyjnych (do czego zachêcamy) to odsy³amy do podrozdzia³u 30-7, rozdzia³ 30 i podrozdzia³u 31-2, rozdzia³ 31, tom 1 czê¶æ 2, Feynmana wyk³ady z fizyki.