Zadanie 21. Rzut pionowy kamienia

Pionowo do góry wyrzucono kamień o masie 0,2 kg, nadając mu szybkość początkową
Oblicz:

a) wysokość, na jaką wzniesie się kamień,

b) energię kinetyczną, potencjalną i całkowitą mechaniczną w połowie największej wysokości,

c) prędkość, z jaką powróci do poziomu wyrzucenia,

d) czas wznoszenia,

e) czas spadania do poziomu wyrzucenia.

 

Wskazówka 1. Wypisz dane z treści zadania.

Odpowiedź 1.

 

Wskazówka 2. Z jakimi rodzajami energii mamy do czynienia w tym zadaniu?

Odpowiedź 2. Z energią kinetyczną, gdy kamień się porusza oraz z energią potencjalną.

 

Wskazówka 3. Jaką energię posiadał kamień w chwili wyrzucenia, jeśli przyjmiemy, że jego położenie początkowe jest równe zeru? Ile ona wynosiła?

Odpowiedź 3. W chwili wyrzucenia kamień posiadał tylko energię kinetyczną:

 

Wskazówka 4. Jaką energię posiadał kamień w momencie, gdy uzyskał maksymalną wysokość, którą oznaczymy jako h?

Odpowiedź 4. Posiadał on tylko energię potencjalną o wartości:

 

Wskazówka 5. Jak brzmi zasada zachowania energii?

Odpowiedź 5. Energie: kinetyczna i potencjalna mogą się zmieniać, ale ich suma (energia mechaniczna) nie może ulec zmianie:

 

Wskazówka 6. Skorzystaj z zasady zachowania energii, aby obliczyć na jaką wysokość wzniesie się kamień.

Odpowiedź 6. W chwili początkowej całkowita energia mechaniczna kamienia jest równa energii kinetycznej, której wartość obliczyliśmy. Z kolei w chwili, w której kamień osiąga maksymalną wysokość, całkowita energia mechaniczna jest równa energii potencjalnej. Otrzymujemy więc równość:

 

Kamień wzniesie się na wysokość 11, 25 m.

 

Wskazówka 7. Ile będzie wynosić energia kinetyczna, potencjalna i całkowita mechaniczna w połowie największej wysokości?

Odpowiedź 7. Całkowita energia mechaniczna w każdej chwili czasu wynosić będzie 22,5 J. Odpowiada ona energii potencjalnej kamienia, który wzniósł się na maksymalną wysokość h. To oznacza, że jeśli kamień osiągnął połowę największej wysokości:

 

 

to jego energia potencjalna będzie wynosić połowę energii mechanicznej, czyli 11,25 J.

Wiemy, że suma energii kinetycznej i potencjalnej daje nam całkowitą energię mechaniczną, więc:

 

Wskazówka 8. W ruchu, w którym wyrzucone w górę ciało po pewnym czasie powraca do poziomu wyrzucenia, czas wznoszenia i opadania jest taki sam, tak samo jak prędkość, z którą ciało zostało wyrzucone, ma tę samą wartość jak prędkość, z jaką ciało powraca na podłoże. Dzieje się tak, ponieważ w obu etapach ruchu ciało ma do pokonania taką samą drogę i działa na nie siła ciężkości o stałej wartości.

Ile będzie wynosić prędkość, z jaką kamień powróci na podłoże?

 

Odpowiedź 8. Prędkość będzie wynosić 15 m/s.

W tym momencie jego energia kinetyczna będzie równa energii mechanicznej (energia potencjalna będzie równa zeru), czyli kamień musi mieć tę samą prędkość, z jaką został wyrzucony.

 

Wskazówka 9. Jakim ruchem porusza się kamień w czasie spadania?

Odpowiedź 9. Jest to spadek swobodny – kamień porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem ziemskim skierowanym w dół (przyjmijmy, że oś pionowa jest skierowana do góry).

 

Wskazówka 10. Jak policzyć czas spadku kamienia? Ile wynosi?

Odpowiedź 10. Znamy drogę, jaką pokonał kamień od chwili, gdy osiągnął maksymalną wysokość, do momentu, gdy ponownie osiągnął podłoże. Wynosi ona h. Kamień poruszał się  z przyspieszeniem ziemskim -g. Wiemy jednak, że droga jest zawsze dodatnia, więc wstawiamy wartość bezwzględną, czyli g. Możemy więc skorzystać ze wzoru:

Wybieramy rozwiązanie dodatnie – czas jest zawsze nieujemny.

Czas spadku kamienia wynosi 1,5 s.

 

Wskazówka 11. Znając czas spadku kamienia, potrafisz odpowiedzieć na pytanie d.

Odpowiedź 11. Czas wznoszenia wyniósł 1,5 s.

 

 

Literatura

1. Grzybowski Roman, Fizyka i astronomia – zbiór zadań dla gimnazjum, Operon, Gdynia 2007, str. 68.